expressions des fonctions de Bessel

dam0

Bonjour

Je m'embrouille un peu dans les fonctions dites de Bessel ...
J'ai besoin de celles du 1er ordre pour étudier la diffraction d'ondes lumineuses par un trou circulaire
J'ai trouvé dans la littérature $$J_1(m) = \frac 1\pi \int_0^\pi \cos \big(x - m\sin (x)\big) dx$$
J'ai trouvé aussi $$ J_1(m) = \frac{2m}\pi \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \cos(mx)dx$$
De prime abord ces 2 intégrales n'ont pas l'air d'être franchement équivalentes...
Mais bon méfions-nous des apparences
Y a-t-il un changement de variable permettant de passer d'une expression à l'autre ??
Merci pour vos éclaircissements

[En LaTeX, c'est quand même plus lisible AD]

gilles benson

http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html

dam0

merci pour le Latex (si j'ose dire...)

c'est mieux !

excellent le site ! dommage en anglais mais bon on va voir...

dam0

bizarrement la 2ème expression de la fonction de Bessel d'ordre 1 que j'ai donné n'apparaît pas sur la page web mathworld...ça ne répond donc pas à ma question...pas de chance !

gb

Tout simplement :
\begin{align*}
\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(x - m\sin x) \,dx &= \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos x \cos(m\sin x) \,dx + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin x \sin(m\sin x) \,dx \\
&= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{m} \sin(m \sin x) \right]_0^\pi + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin x \sin(m\sin x) \,dx \\
&= \frac{1}{\pi} \Bigl[ -\cos x \sin(m\sin x) \Bigr]_0^\pi + \frac{m}{\pi} \int_0^\pi \cos^2 x \cos(m\sin x) \,dx &\text{par parties} \\
&= \frac{m}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 x \cos(m\sin x) \,dx & \pi-\text{périodicité de l'intégrande} \\ \\
&= \frac{2m}{\pi} \int_0^{\pi/2} \cos^2 x \cos(m\sin x) \,dx & \text{parité de l'intégrande} \\
&= \frac{2m}{\pi} \int_0^1 \sqrt{1-t^2} \cos(mt) \,dt & t = \sin x
\end{align*}

dam0

merci gb !!!

tu me sauves...

j'aime bien le "tout simplement" ...8-) ça dépend pour qui !!!