une question bête

Bonsoir,

J'arrive à faire 15 minutes de maths tous les 2 jours pour me détendre (et je suis sérieux), pas le moyen d'en faire plus pour l'instant.

Une question simple. Dans l'expression P=1/2*(1/2-1)(1/2-2)...(1/2-n+1) et sans développer d'avantage, pour faire "jolie" dans un développement en série entière, j'ai besoin de mettre (-1) en facteur dans l'expression P, automatiquement, je mettrais (-1)^{n} en facteur, mais j'hésite à présent avec (-1)^{n-1}?

Merci pour votre réponse,

Cordialement,
Clotho

Réponses

  • Bonsoir Clotho,

    $P = \dfrac12 \, \left( \dfrac12 - 1\right) \left( \dfrac12 - 2\right) \ldots \left( \dfrac12 - n+1\right)$
    tu as $n$ facteurs dont $n-1$ négatifs, donc autant mettre le premier facteur de côté et factoriser par $(-1)^{n-1}$, non ?

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Regarde ce qu'il se passe pour $n=1,2,3,4$.
  • Bonsoir ev et guego,

    Je suis content de vous revoir virtuellement :)

    Entrain de vivre un enfer intellectuel avec ma formation( mais je vais y arriver), et j'essaie de faire tout de même un peu de math pour ne pas tout oublier.

    Mon soucis, c'est que je sais que vous avez raison car je me suis posé la question. Mais ça s'arrangeait bien avec $(-1)^n$ en facteur. Il s'agit de développer en série entière $y=\sqrt{1+x^2}$. Je vous passe les détails, mais avec ma méthode, j'arrive au développement suivant sur $]-1,1[$ ( rayon déterminé à postériori par analyse synthèse) :

    $$y=1+\dfrac{x^2}{2}+\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n-1} \dfrac{(2n-3)! n(n-1)}{2^{2n-1} ((n+1)!)^2} x^{2n}$$

    Je vois pas mon erreur.

    edit : j'ai rien dit, et je me suis manisfesté pour rien, c'est bien (-1)^{n-1} que j'ai mis en facteur. Et mon résultat est correct. Bon, il est temps que j'aille dormir si j'y arrive. A bientôt.
    Merci
    Clotho
  • Bonjour Clotho,
    "j'ai rien dit, et je me suis manisfesté pour rien," eh non, car ça fait bien plaisir de te revoir.
    Bon courage.
  • Pour répondre simplement à cette question il faut homogéniser les facteurs.
    1/2-n+1=1/2-(n-1) et on se retrouve avec un produit de facteurs de la forme 1/2-i avec i variant de 1 à n-1.
    Il y en a donc n-1.
  • bonsoir Clotho

    content de te revoir sur le forum;
    mais ton développement comporte semble- t-il une erreur dans son terme général; je trouve:

    1 + somme pour n = 1 jusqu'à l'infini de (-x²/4)^n.(2n)!/[(n!)².(2n-1)]

    l'intervalle de convergence est R en fait
    puisque l'alternance de signe du terme général est assurée quelle que soit x

    pour - 2 < x < 2 la convergence est implosive vers rac(1+x²)

    pour x = 2 et x = - 2 la convergence vers rac(5)
    est également implosive comparable à celle de Zéta alternée de variable 3/2
    en effet d'après Wallis (2n!)/[(n!)².4^n] est équivalent à 1/rac(pi.n) pour n grand

    pour |x| > 2 la convergence est explosive vers rac(1+x²)

    cordialement
  • Bonjour,

    Pour la réponse à ma question, je suis bien convaincu qu'il s'agit de (-1)^{n-1} à présent.

    @Braun
    Merci pour ton message très sympa. J'essaierai de passer de temps en temps sur le Forum.

    Cordialement,
    Clotho
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