Extension d'isomorphisme

Eric Chopin

Hello,

Je voudrais savoir si on peut toujours etendre un isomorphisme de groupe entre
2 sous groupes d'un groupe abelien localement compact a un automorphisme de ce groupe.
Je sais qu'on peut toujours etendre un caractere continu sur un sous groupe en un
caractere sur le groupe entier mais pour un isomorphisme je n'ai pas vu de resultat dans ce sens.

Pour preciser le probleme, j'ai un groupe LCA (localement compact et abelien) B, self dual (pour la dualité de Pontryagin),
A un sous groupe de B lui aussi self dual, $s$ un automorphisme de $B$,
$V_1 = A \cap s^{-1}(A)$, $V_2 = A \cap s(A)$.
On a alors $s(V_1) = V_2$ et je voudrais en deduire l'existence d'un automorphisme de $B$ "parabolique" $p$
verifiant $p(V_1) = V_2$ et $p(A) =A$.

Si quelqu'un connait un resultat qui permet de justifier ca je suis preneur.
Merci d'avance,
Eric

AD

Bonjour Eric
Je crains que non !
Il me semble que si $G$ est fini, il est localement compact (?).
Alors prends le groupe fini : $G=\Z/4\Z\times \Z/2\Z$. le sous-groupe $H=\{(0,0);(0,1)\} \simeq \Z/2\Z$ et le sous-groupe $K=\{(2,0);(0,0)\} \simeq \Z/2\Z$.
Aucun automorphisme de $G$ ne peut envoyer $H$ sur $K$ puisque $G/H\simeq \Z/4\Z$ alors que $G/K \simeq (\Z/2\Z)^2$.
Alain

[Edit : correction $H=\{(0,0);(0,1)\}$ et non pas $H=\{(0,0);(1,0)\}$ Alain]

Eric Chopin

Merci Alain!

En effet, c'est pour ca que j'ai précisé self dual mais ca ne suffit pas... ;-)
La situation prototype de mon probleme c'est $B$ espace vectoriel sur $\R$ ou $\Q_p$
et $A$ sous espace vectoriel mais je cherche au maximum a travailler sans l'hypothese "espace vectoriel",
ce qui n'est pas toujours une mince affaire...
Alors je sors mon joker (peut-etre pas encore suffisant remarque....): $B$ et $A$ doivent etre 2-reguliers...
(cad $x\mapsto 2x$ est un automorphisme). Sinon si tu as une idée sur une contrainte la plus faible
possible pour que le resultat que je souhaite invoquer soit vrai ca m'interesse.

Merci,

eric

Eric Chopin

Pour revenir a t'on exemple Alain, en fait des le depart ca ne peut pas coller
puisque le fait que $H$ et $K$ soient respectivement de la forme $H = A \cap s^{-1}(A)$, $K = A \cap s(A)$
pour un automorphisme $s$ donné fait partie de l'hypothese, donc ton exemple
ne correspond pas a cette situation puisqu'on aura alors $s(H)=K$, me trompe-je?

Eric

Eric Chopin

Je fait remonter au cas ou....

Eric

marco

Bonjour,

Si $B= (\Z / 3 \Z) ^{\Z}$, $A= (\Z / 3 \Z) ^{\N}$, et $s( (u_n)_{n \in \Z})= (u_{n-1})_{n \in \Z}$, $V_1=A$ et $V_2=(\Z / 3 \Z) ^{\N ^*}$ et il n'y a pas de $p$ qui marche.
Mais je ne sais pas si $A$ et $B$ sont self-dual...

Eric Chopin

Ok merci, effectivement ton contre-exemple est valable, je n'avais pas pensé
au cas du sous groupe propre isomorphe au groupe complet..

Il va donc falloir que j'ajoute une contrainte supplémentaire....

Eric

marco

Je ne crois pas que $A$ et $B$ soient self-dual.
Car dans un cas ($Hom(A, \R / \Z)$) ce sont des sommes d'éléments tous nuls sauf un nombre fini, dans l'autre ($A$)
ce sont des sommes quelconques.
Aurais-tu un exemple de groupe self-dual infini ?

Eric Chopin

Ah oui tu as raison mais on doit retomber sur des groupes self duaux en prenant les suites
a support compact, ton contre exemple doit marcher encore.
Sinon oui $\R$ ou $\Q_p$ sont self duaux, de sorte que justement on devrait pouvoir adapter
ton exemple a l'anneau des adeles par exemple.

Juste pour eclairer le contexte, je generalise (enfin j'ai généralisé...)
la representation de Weil en remplacant
les espaces vectoriels (intervenant dans la definition du groupe d'Heisenberg) ,
par un groupe abelien localement compact (ici c'est $B$). Dans ce contexte
$B$ est muni d'un bicaractere continu $m$ antisymmetrique tel que
$x \in B \mapsto m(x,\cdot) \in {\hat B}$ soit un isomorphisme,
le bicaractere me sert alors pour constuire une extension $B\times U(1)$
qui generalise la notion de groupe d'Heisenberg.
Donc typiquement $B$ est un espace vectoriel symplectique, et $A$ un Lagrangien
c'est a dire un sous groupe maximal isotrope par rapport à $m$ (et ici
on peut rajouter que $A$ est isomorphe à $B/A$ car dans ce contexte, un reseau
dans $B$ peut faire office de Lagrangien, ce qui n'est pas la notion usuelle à savoir
un sous espace vectoriel de dimension moitié par rapport à $B$).
L'automorphisme $s$ que je mentionnais plus haut est symplectique, c-a-d $m(s(x),s(y)) = m(x,y)$,
je pense que cette contrainte devrait suffir a obtenir le resultat que je voulais
mais c'est loin d'etre evident.

Eric

Eric Chopin

Je fais remonter parce que j'ai quand meme trouvé un pb dans ton contre-exemple Marco.

Avec ta definition de $s$ on a bien $s(V_1) = V_2$
mais $V_1=A$ n'est pas de la forme $A \cap s^{-1}(A)$
(si c'etait le cas on aurait $s(A)=A$ et $p=s$ conviendrait alors qu'avec cette definition de $s$ on a
$s(A)$ strictement inclu dans $A$.)

a+

Eric

marco

Bonjour Eric,

Je ne comprends pas.
$A$ est l'ensemble des éléments $(u_n)_{n \in \Z}$ de $B$ tels que $u_i=0$ pour $i<0$. Donc
$s^{-1}(A)$ est l'ensemble des éléments $(u_i)$ tel que $(v_i)=(u_{i-1}) \in A$.
C'est-à-dire $v_{i}=0$ pour $i<0$ <=> $u_{i-1}=0$ pour $i<0$ <=> $u_i=0$ pour $i+1<0$.
Donc $A \cap s^{-1}(A)$ est l'ensemble des $(u_i)$ tels que $u_i=0$ pour $i<0$ et $u_i=0$ pour $i+1<0$ <=> $u_i=0$ pour $i<0$,
c'est-à-dire $A$.

$s(A \cap s^{-1}(A))=s(A) \cap A \neq A$.

Eric Chopin

Ah oui en effet ma remarque etait stupide, on a bien
$s(A) \varsubsetneq A \varsubsetneq s^{-1}(A)$, bien que les 3 soient images l'un de l'autre
par un isomorphisme de $B$.

Ce qui dans mon cas empeche que cette situation soit possible
c'est bien la symplecticité de $s$, qui transforme un maximal isotrope
en maximal isotrope et la maximalité fait que $s(A)$ qui est aussi un
Lagrangien ne peut etre un sous groupe propre de $A$ qui est un Lagrangien.

Donc je crois qu'il faudra imperativement invoquer la symplecticité pour que
je puisse justifier l'existence d'un automorphisme stabilisant $A$ et transformant
$V_1$ en $V_2$.... va falloir que je creuse.

Merci encore,

Eric

GreginGre

j'ai l'impression que tu veux une espèce de théorème d'extension de Witt, je me trompe?

As-tu regardé la théorie de Scharlau, Quebemann et Schulte sur les catégories hermitiennes??

Désolé si je suis à côté de la plaque...:S

Eric Chopin

Merci Greg, je vais jeter un oeil. Ici ce que je cherche c'est a generaliser quelque chose
de trivialement vrai quand on est sur des espaces symplectiques de dimension finie, qui
me sert ensuite a construire une sorte de decomposition de Bruhat pour l'automorphisme $s$ (je remplace
le sous groupe de Borel par le sous groupe parabolique des automorphismes symplectiques préservant $A$),
ce que ensuite j'utilise pour etudier une propriété essentielle du cocycle de la representation de Weil.
Comme tu vois ce n'est qu'une petite etape dans quelque chose de plus consequent et il n'est pas
exclu que je puisse contourner le probleme mais pour l'instant je ne vois pas trop comment
m'en passer.

A+

eric