Du complexe au réel

Bonjour
Je considère la matrice de rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ : $\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 &0 \end{array} \right)$
Je connais la matrice réelle : $\left( \begin{array}{cc} \cos \frac{\pi}{2} & - \sin \frac{\pi}{2} \\ \sin \frac{\pi}{2} &\cos \frac{\pi}{2} \end{array} \right)$
Je diagonalise dans $\mathbb{C}$ et j'obtiens soit : $\left( \begin{array}{cc} \imath & 0 \\ 0 & - \imath \end{array} \right)$ \quad soit : $\left( \begin{array}{cc} - \imath & 0 \\ 0 & \imath \end{array} \right)$
Mes questions sont donc les suivantes (je considère le cas général où je ne connais pas la rotation réelle) :
- Comment je distingue $z$ de $\bar{z}$ pour obtenir la matrice de la rotation réelle ?
- Comment on passe de la matrice complexe à la matrice réelle ?

Merci d'avance à toute personne qui me répondra.

Réponses

  • Bonjour lionel.

    Je ne comprends pas bien ta question, Je subodore cependant que tu demandes \og\ laquelle des deux matrices dois-je choisir pour représenter la rotation d'angle $\dfrac \pi 2$ ? \fg. Si telle est bien la question, le choix est arbitraire : ce que tu demandes c'est comment doi-je orienter le plan ? Or on sait bien que les deux orientations sont indiscernables l'une de l'autre. Dans le même genre de question, il y a deux racines complexes du polynôme $X^2 + 1$ ; laquelle est \og\ $i$ \fg\ ?

    Bruno
  • Salut Bruno,
    tu as bien traduit ma question :)

    Sauf que, le plan affine réel est orienté par le sens trigonométrique, tu as un repère direct du plan complexe ce qui permet de définir la bijection entre le plan complexe et le plan affine réel.
    Si tu considères la rotation d'angle $\theta$ définie par $f(z)=e^{\imath \theta}\; z$, tu n'as aucun problème.

    Cela dit, j'ai une question supplémentaire : dans $\Mathbb{C}$, j'ai comme vecteur propre le vecteur $$V_1 =\left(\begin{array}{c} \imath \\ 1 \end{array} \right )$$ qui correspond à la valeur propre $\imath$.
    Comment je détermine le vecteur qui lui correspond dans l'espace réel (sachant que pour tout complexe $\lambda$, le vecteur $\lambda V_1$ est encore valeur propre) ?

    En fait, je me suis placé dans le plan pour faire simple::o

    Le vrai problème est le suivant, j'ai une matrice de rotation de l'espace à trois dimensions. Je détermine l'axe $\Delta$ sans problème (la valeur propre qui vaut $1$). En fonction du choix du vecteur propre correspondant à cette valeur propre, j'induis une orientation sur tout plan perpendiculaire à $\Delta$ et je peux déterminer l'angle de rotation (je peux dire si c'est $\theta$ ou $-\theta$).
    Peux-t'on se servir des valeurs propres complexes pour faire le choix ?

    Ma vraie question est la suivante : comment en partant de $\mathbb{R}$, on part dans $\mathbb{C}$ et on revient dans $\mathbb{R}$ ?

    Lionel
  • Avec la matrice de passage, qui est complexe.
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