représentation linéaire de groupe fini et...

Airy

Titre initial : représentation linéaire de groupe fini et explicitation d'une base diagonale
[Tu as tout le corps du message pour développer, pas seulement le titre ! AD]

Bonjour,

Re-travaillant (pour le plaisir !) la représentation linéaire des groupes finis, je rencontre un problème d'ordre pratique :

Trouver explicitement la base dans laquelle tous les automorphismes considérés sont simultanément en "blocs diagonaux".

Voilà l'exemple sur lequel je travaille :
J'ai considéré la molécule d'eau muni de repère orthonormé sur chacun des atomes (les 3 repères ont des axes parallèles).
J'ai ensuite déterminé les matrices représentant les actions respectives des isométries (laissant globalement invariant la molécules) sur les 3 repères.
Cela me donne 4 matrices (car le groupe est V4) matrices $ 9 \times 9$ (il y a $3 \times 3$ "vecteurs" ).
Une remarque à ce stade ; je n'étais pas sûr de la pertinence du choix des vecteurs sur lequel je faisais agir $V_4$, mais le caractère de cette représentation est exactement le même que celui correspondant une représentation répondant à des considérations plus physiques (trouvé dans un texte pour chimiste).
Elle sont donc équivalentes (ouf !).

Notons $\rho$ la représentation considérée;
1 = l'identité;
a = la réflexion qui a pour plan, le plan de la molécule ;
b = la réflexion qui a pour plan, le plan perpendiculaire au plan de la molécule ;
c = a.b = la rotation d'axe, l'intersection des deux plans précédents et d'angle $\pi$ .

J'ai donc trouvé :
* $\chi (1) = 9$ (dimension de la représentation) ;
* $\chi ( a) = 3$ ;
* $\chi ( b) = 1$
* $\chi ( c) = - 1$.

Avec la table de caractère de $V_4$, j'ai trouvé : $\rho = 3 \rho_{triviale} \oplus \rho_{signature} \oplus 3 \rho_3 \oplus 2 \rho_4$
Où $\rho_3$ et $\rho_4$ sont les deux autres représentations irréductibles de $V_4$ non équivalentes entre elles.
Cela veut donc dire qu'il existe une base de $\R^9$ dans laquelle les 4 matrices sont simultanément diagonales avec :
- 3 vecteurs qui ont tout le temps, 1 comme valeurs propres ;
- 1 vecteur invariant par l'identité et la rotation et transformé en son opposé par les deux réflexions ;
- 3 vecteurs fixés par l'identité et la 1ère réflexions mentionnée, et transformés en leur opposé respectifs par les deux autres éléments de $V_4$;
- Enfin 2 vecteurs invariant pour l'identité et la seconde réflexion mentionnée et transformés en leur opposés respectifs par les autres éléments de $V_4$.

Ma question est la suivante : Comment déterminer cette base ?
Il y a bien sûr la méthode consistant à poser une matrice inversible $P$ inconnue avec donc 81 ( ! ) coefficients à déterminer ! Via les 3 produits $P^{-1} M_i P = D_i$ où $M_i$ sont les matrices des éléments de $V_4$ et $D_i$ les diagonalisations correspondantes qui sont toutes connues.

Mais je suis sûr qu'il y a plus rapide ...
D'avance, je vous remercie pour le temps que vous avez bien voulu consacrer à ce texte.
Airy.