inégalité entre fonctions symétriques élémentaires.

Molinier

Bonjour,

Je suis entrain de lire l'ouvrage de Polya-Hardy-Littlewood sur les inégalitées.
Il s'agit de démontrer (p.52) que $c_{r-1}c_{r+1}<c_r^2$, $c_r$ étant la $r$_ième fonction symétrique élémentaire en $a=(a_1,\ldots , a_n)$ qu'on suppose tous positifs.
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi tout les termes de la différence $c_{r-1}c_{r+1}-c_r^2$ sont de la forme $a_1^2\ldots a_{r-s}^2a_{r-s+1}\ldots a_{r+s}$ affecté du coefficient $\dbinom{2s}{s-1}-\dbinom{2s}{s}$.
Il doit pourtant s'agir de quelque chose d'assez élémentaire puisqu'elle n'est pas détaillé dans le livre, mais en essayant d'écrire convenablement la différence de ces produits je n'arrive pas à parvenir à ce résultat.

Eric

Dans Problems in mathematical analysis de Biler et Witkowski (CRC Press, 1990), les auteurs conseillent de poser $P(x)=(x-a_1)\dotsm(x-a_n)$, de dériver $P$ $n-k-1$ fois, de faire le changement de variable $x=1/y$ et de dériver à nouveau $k-1$ fois. Ils renvoient pour les détails du calcul à Kvant, 1980, n°4, solution du problème 565 (page 3 du lien suivant)
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1980/04/resheniya_zadachnika_kvanta_ma.htm

Molinier

Merci, mais mon problème n'est pas tant de comprendre une démonstration de ce résultat (on peut voir cela comme une conséquence de l'inégalité de Newton qu'on démontre par récurrence) que d'y parvenir par la technique de calcul (brutale ?) évoquée précédemment.

Il est également fait mention d'une preuve de l'inégalité de Newton ($p_{r-1}p_{r+1}<p_r^2$ avec $p_r=\dbinom{n}{r}^{-1}c_r$) par un calcul utilisant l'identité suivante :
$\displaystyle p_{r-1}p_{r+1}-p_r^2=\frac{1}{r(r+1)\binom{n}{r}\binom{n}{r+1}}\sum_{i=0}^{r-1}\binom{2i}{i} \frac{(r,i)}{i+1}$ ou $\displaystyle (r,i)=\sum a_1^2\ldots a_{r-i-1}^2a_{r-i}\ldots a_{r+i-1}(a_{r+i}-a_{r+i+1})^2$