Musipsilon

Bonjour.

En musique théorique, dans le cycle des quintes et quartes, c'est à dire les fractions pythagoriciennes ramenées à l'Octave (comprises entre 1 et 2), il apparaît deux petits intervalles (que certains continuent à dénommer commas), l'un issu du cycle des quartes :

a = 2^485 / 3^306 = 1,001 022 761...

l'autre issu du cycle des quintes :

b = 3^665 / 2^1054 = 1,000 043 655...

qui restent néanmoins plus grand que 65537/65536 = 1,000 015 259... (et il faut un peu plus de décimales pour le distinguer de 65536/65535 légèrement plus grand)

nous observons que b^24/a = 3^16266 / 2^25781 = 1,000 025 46.... reste plus grand que 65537/65536 tout comme 2^24727 / 3^15601 = 1,000 018 195...

mais que 3^31857 / 2^50508 = 1,000 007 265... (aux erreurs près d'arrondis cumulés) est sous ce seuil.

Première question : y a-t-il une meilleure valeur sous ce seuil c'est-à-dire avec des puissances moins élevées ?

Deuxième question : quelle est la plus petite valeur sous ce seuil qui soit cependant plus grande que :
65536² / 65536²-1 ?
(pour l'instant je n'ai pas encore la réponse).

Troisième question : on se pose naturellement les mêmes questions mais avec les systèmes zarlinien (engendré par les nombres 2,3,5), eulérien (2,3,5,7) et celui dit de Rameau (2,3,5,7,11,13) (il faut bien lui rendre hommage...). On vous épargnera d'autres systèmes pour diverses raisons que je ne peux exposer ici.

Il ne s'agit pas de vous lancer dans une étude exhaustive, mais de fournir diverses pistes si vous en avez vent.

Ultime question : existe-t-il des valeurs dans chacun de ces systèmes qui soient globalement dans un "mouchoir de poche" (par exemple autour de 1,000 001...) ce que l'on pourrait appeler un "musipsilon" ?

Merci de votre aimable attention.


Euzenius

Réponses

  • Bizarre que tu ne fasses pas mention des développements en fraction continue.
    16911
  • Bonsoir,

    Effectivement j'ai zappé. Merci pour l'intervention. Donc avec le système pythagoricien cela mouline un bon bout de temps... avant de passer sous le seuil de Fermat (1,000 015...)
    Pour le système zarlinien j'ai obtenu : 2^161 /(3^84x5^12) = 1,000 008 873...
    Pour le système de Rameau (selon ma terminologie) je parviens avec des puissances plus raisonnables vers 1,000 006 18... ((5^7x11^2x13^4) / (2^7x3^16x7^2) = 1,000 006 182... Le numérateur vaut très exactement : 269990703125 et le dénominateur 269989034112)
    Je n'ai pas encore trouvé d'équivalent avec le système d'Euler mais ne désespère pas...




    Euzenius
  • Bonsoir,

    Pour ceux qui ont suivi, on trouve un "joli" ratio eulérien :

    (2^3x5^10) / (3^13x7^2) = 78125000 / 78121827 = 1,000 040 616...

    et son rapport avec 3^665 / 2^1054 nous fait passer sous le seuil de Fermat (si toutefois ce seuil a un intérêt autre que sa simplicité) soit (3^678x7^2) / (2^1057x5^10) = 1,000 003 039...

    Du coup, la question n°2, bien que théoriquement intéressante, perd néanmoins de sa pertinence eu égard aux micro-intervalles musicaux pour diverses raisons qu'il est impossible de développer ici (on renvoie vers les sites appropriés et diverses études à ce sujet).

    Merci de l'intérêt que vous avez pu manifester à la lecture de ce post et à Zo en particulier.


    Euzenius
  • Bonjour

    On a aussi des ratios de la forme (n+1)/n pour information :

    9801/9800 et 123201/123200


    Merci de votre ultime attention.


    Euzenius
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