Fonction de Pillai

borde

Bonjour,

Ce sujet disparaîtra sans doute assez vite, mais, en cette période de vacances, je voudrais vous présenter le survol suivant :

http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Toth/toth10.pdf

concernant la {\it fonction de Pillai}, c'est-à-dire la fonction "somme des pgcd" (ce pdf pèse 1,3 Mo, le temps de chargement peut donc être un peu long).

Cet article est très fourni, tant sur le plan de la présentation de cette fonction et de ses analogues que sur le plan bibliographique.

Les non-spécialistes pourront zapper les démonstrations techniques.

Bonne lecture,


Borde.

Eric Chopin

Hello Borde,

Ca devrait interesser Sylvain ca, il y a plein de resultats dependants de RH... ;-)


A+

Eric

Sylvain

En effet Eric ! J'ai jeté un rapide coup d'oeil sur le pdf indiqué par Borde, que je me réjouis d'ailleurs de revoir sur le forum, mais je trouve qu'en général en TAN les expressions à l'intérieur des $O$ sont plutôt moches : il y a souvent des produits de fonctions affectées d'exposants bizarres, ce n'est pas très esthétique.

bs

Bonsoir,

Merci pour ce document, et au passage (tu) pour les divers résultats dont tu es l'auteur et qui sont repris et cités dans ce pdf.

Amicalement.

borde

Merci à ceux qui font vivre ce fil...


Bonjour Sylvain,

Les termes d'erreurs actuels, les meilleurs obtenus avec la technologie dont nous disposons aujourd'hui, font intervenir des échelles de fonctions qui combinent des itérés des logarithmes. Cela permet à mon sens deux choses :

(i) de visualiser les améliorations obtenues ces dernières années,

(ii) de montrer les limites de nos connaissances actuelles.

A l'instar de nombreux arithméticiens, L. Toth a décliné ses formules asymptotiques sans et avec HR : cela permet de mesurer le chemin qu'il reste à parcourir et, en même temps, de visualiser le meilleur résultat possible.


Bonjour Bernard,

{\it et au passage (tu) pour les divers résultats dont tu es l'auteur}

Je m'étais effectivement intéressé à ce problème il y a quelques temps (nous avons d'ailleurs eu quelques échanges mails intéressants avec L. Toth à ce sujet), et c'est la raison qui m'a d'abord fait hésiter à mettre ce texte ici...Mais ces références n'ont pas grande importance au regard de ce qu'apporte cet article, vraiment très bien fait. D'ailleurs, L. Toth est maintenant un arithméticien reconnu.

On notera à la fin du texte une liste de problèmes ouverts qui pourront éventuellement intéresser qg77, B....t, Sylvain, Brux, RAJ, Oumpapah, Ksilver, Gaston, Bob ou Eric C, par exemple.


Borde.

Sylvain

En effet, le premier problème ouvert est intéressant. On peut montrer que les nombres $n$ de la forme $2^{2a}.3.5$ et ceux de la forme $2^4.3^{a}$ avec $a$ naturel quelconque conviennent.

Sylvain

Par ailleurs les seuls $n$ de la forme $p^{2a}.q$ avec $q=p+8$ premier sont $325$ et $891$.

Sylvain

Il semble également que le k-ième terme de la suite des entiers n qui conviennent soit compris entre k² et 4k².

Sylvain

Enfin, je conjecture que si $(u_k)$ est la suite de naturels en question, on a $k\sim C\sqrt{\frac{u_k}{\ln u_k}}$ avec $C=\displaystyle{\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{u_l}}$.

borde

Rappelons que ces problèmes ouverts peuvent mener à la rédaction d'un article en cas de démonstration de l'un d'entre eux, ce qui est toujours intéressant.


Borde.

Sylvain

Olivier, tu penses vraiment que ça vaudrait le coup d'écrire un article si, par exemple, on prouvait la conjecture de l'auteur selon laquelle $1$ et $15$ sont les seuls entiers $n$ $2$-libres tels que $n\vert P(n)$ ?

borde

Cette conjecture, si elle est démontrée, peut être un résultat suffisamment intéressant pour soumettre un petit manuscrit, en particulier si les idées et/ou les outils en jeu sont non triviaux (ce qui est souvent le cas dans ces conjectures de théorie des nombres).

Après, c'est le rôle du referee de trancher pour savoir si oui ou non le manuscrit doit être publié.

Par ailleurs, je pense que Toth n'a pas choisi ces problèmes au hasard : on peut en effet penser qu'il a déjà réfléchi aux moyens d'aboutir et n'a pas réussi. Peut-être même a-t-il soumis ces questions à d'autres collègues, sans succès également.

Borde.

Sylvain

On peut donner une condition nécessaire pour que $\displaystyle{n=\prod_{i=1}^{r}p_i}$ divise $P(n)$ : pour cela, il faut qu'il existe au moins un $i<r$ tel que $2p_{i}-1$ soit un nombre premier divisant $n$.