Trace et permutation

Toto.le.zero

Bonjour à tous,

je vous soumets ce petit problème, qui m'a été inspiré par un autre fil et dont je ne sais pas encore s'il est vide ou non:

Trouver toutes les permutations de $\sigma \in S_p$ telles que pour toutes $A_1, \dots , A_p \in M_n(K)$, $p$ matrices quelconques à valeurs dans un corps $K$ quelconque, on ait:

\[ Tr \left( A_1 \dots A_p \right) = Tr \left( A_{\sigma(1)} \dots A_{\sigma(p)} \right) \]

J'avoue avoir cherché rapidement, mais ne rien avoir trouvé de concret... Peut-être que le résultat est évident et je suis passé à côté ou bien c'est beaucoup plus difficile que je ne le pense.

Puisque $Tr(AB)=Tr(BA)$, il y a déjà tous les cycles de longueur $p$.

ev

Bonjour Toto.

Toto a écrit:

...il y a déjà tous les cycles de longueur $ p$.

Comment démontres-tu que $Tr(ABC) = Tr(BCA)$ ?

amicalement,

e.v.

girdav

Une première observation, sans doute triviale, est que l'ensemble des permutations qui conviennent est un sous-groupe de $S_p$ qui contient la permutation $\sigma$ telle que $\sigma (i)=i+1$ pour $1\leq i\leq p-1$ et $\sigma(p) =1$.

Toto.le.zero

D'accord avec toi ev, ce que j'ai énoncé est visblement faux, ce que je voulais dire est qu'il y a déjà le cycle $(1 2 \dots p)$ (ce que girdav vient de dire d'ailleurs).

remarque

Ah bon, on n'a pas $\mathrm{tr}\,(A(BC))=\mathrm{tr}\,((BC)A)$ ?

Toto.le.zero

Si, en effet Bon, moi je retourne me coucher, je reviendrai quand j'aurai les idées plus claires lol :)o

girdav

Il reste à voir s'il y a d'autres solutions que les puissances itérées du cycle $\begin{pmatrix}1&2&\cdots&p\end{pmatrix}$.

aléa

Il y en a beaucoup plus; il faut regarder le sous-groupe du groupe symétrique engendré par les coupes d'un paquet de cartes.

Guego

Toute coupe d'un paquet de cartes n'est-elle pas justement une puissance du cycle $\begin{pmatrix}1&2&\cdots&p\end{pmatrix}$ ?

aléa

Ah oui, tiens. Je me coucherai moins bête.

Ksilver

Bonjour !

il n'y a en effet que les permutation cyclique je pense.

dans le cas n=p par exemple :

posons $A_i = E_{i,i+1}$, (en prenant modulo n quand i+1 est trop grand ^^)

on vérifie facilement (sauf erreur de ma part ^^ ) que $Tr(A_{\sigma(1)}.... A_{\sigma(n)} ) = 1$ si sigma est une permutation cyclique, et 0 sinon.

l'argument s'adapte facilement au cas p<n (en prenant une suites de matrices $A_p=E_{i_p,j_p}$ tel que $i_{p+1}=j_{p}$ (plus la dernière condition obtenu par permutation circulaire bien sûr...)

et pour le cas p>n ba... il faut travailler un peu plus je pense (considérer plusieur famille de matrice simultanément, mais je ne doute pas que ca fonctionne aussi)


peut-etre peut-on trouver un argument plus formelle avec moins de cas particulier en prenant pour les A_i des matrices de permutation (la trace est alors le nombre de point fixe...) ?

girdav

Le résultat de Ksilver est confirmé ici.