lemme d'Hadamard

Bonjour,

Pour la démonstration du lemme d'Hadamard, et en raisonnant par la contraposée.

Considérons $A$ une matrice non inversible. Son noyau est donc nul. Ce qui se traduit par l'existence de $X\neq 0$ tel que $AX=0$. En désignant par $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \ldots \\x_n \end{pmatrix}$ ce vecteur colonne non nul, on obtient donc : $\forall i \in [1,n],\quad \sum_{j=1}^{n} a_{i,j}x_j=0$.

Et c'est ensuite que je ne bloque sur le max des coefficients à poser.

Par contre ensuite, je comprends bien le reste de la démo.

Une petite aide pédagogique ?

Merci
Clotho

Réponses

  • Qu'appelles-tu lemme d'Hadamard ? J. Hadamard a produit durant sa (longue) vie un grand nombre de résultats.
  • Salut Eric,

    Autant pour moi, je précise.

    Si A est une matrice carrée à diagonale strictement dominante, alors A est inversible

    Il s'agit de la démo dispo sur wikipédia dans la rubrique matrice à diagonale dominante.

    Cordialement,
    Clotho
  • $X$ étant non nul, il existe au moins une coordonnée non nulle. On considère celle (pas nécessairement unique) de plus grand module (on peut faire ça dans $\mathbb{C}$ et pas seulement dans $\mathbb{R}$) et bien sur ce module n'est pas nul (ce qui permet de faire une division).
  • Merci Eric pour la réponse.

    Cordialement,
    Clotho
  • Sur la même question ..je me demandais : on a des X tels que AX=0 si A est non inversible

    en existe il au moins n avec des coefficients maximums tous a des coordonnées différentes?
  • Si \(A\) est de rang \(n-1\), les solutions de \(AX=0\) sont une droite vectorielle...
  • slt je demande la démonstration de ce lemme à partir de n>=2
  • Eric a déjà donné l'idée de la démonstration plus haut.
    Il te suffit de lire depuis le debut.
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