somme des chiffres d'un entier

Namiswan

Bonjour
Sauriez vous montrer ( si possible, élémentairement ) que la somme des chiffres de 3^n tend vers +infini quand n tend vers +infini? ( éventuellement en écrivant 3^n en base 2 plutôt qu'en base 10 si ça simplifie le problème )

Foys

Comme je n'ai rien sous la main pour écrire je vais me contenter d'une remarque qui peut-être aboutira:

pour tout k entier, la suite des k premiers chiffres de 3 ^n (ainsi que leur somme) est périodique à partir d'un certain rang, il suffit de raisonner modulo 10^k pour le voir

blaaang

Contrairement à $2^n$, je ne connais aucune preuve élémentaire pour $3^n$.

Toto.le.zero

Faut préciser la somme des chiffres dans quelle base, parce qu'en base 3, ta somme tend évidemment vers 1

J'avais juste envie de pinailler ce soir lol

Namiswan

Je veux bien la preuve dans le cas 2^n. Moi j'ai juste réussi à montrer que c'était vrai soit pour 2^n, soit pour 5^n ( en base 10-pour les pinailleurs^^)

blaaang

Si $S(2^n)$ ne divergeait pas vers $+\infty$, on pourrait extraire une suite strictement croissante d'entiers $(n_k)$ tels que $\forall k$, $10^k \mid 2^{n_k}-m$ pour un certain entier $m$ fixé, ce qui est contradictoire.

Le principe est le même pour $5^n$.

gerard0

Bonjour Blaaang.

J'aimerais comprendre :
*Ce m fixé est quoi ?
* Comment pourrait-on extraire ?
* Contradictoire avec quoi ?

Et une remarque : Les nombres qui sont de somme des chiffres faible n'ont aucune raison d'être des puissances de 10.

Cordialement.

blaaang

Et une remarque : Les nombres qui sont de somme des chiffres faible n'ont aucune raison d'être des puissances de 10.

Evidemment. Je n'ai jamais affirmé une telle chose...

Reprenons plus en détails :

lemme : si $(u_k)$ est une suite d'entiers naturels strictement croissante telle que $\forall k$, $u_k$ possède au plus $N$ chiffres non nuls dans son écriture décimale, alors il existe une suite d'entiers naturels strictement croissante $(n_k)$ et un entier $m$ tels que $\forall k$, $10^k|u_{n_k}-m$.

Preuve : par récurrence sur $N$.
- Le résultat est clair pour $N=1$.
- Supposons le résultat vrai au rang $N$ ; soit une suite $(u_k)$ vérifiant les hypothèses du lemme au rang $N+1$. Soit $u'_k$ l'entier obtenu en enlevant le premier chiffre à gauche dans l'écriture décimale de $u_k$. Il y a alors deux possibilités :
-- La suite $(u'_k)$ est bornée ; on peut alors obtenir une sous-suite $u'_{m_k}$ constante égale à une valeur $m$ et comme $(u_k)$ est strictement croissante, il est facile d'extraire une sous-suite $(u_{n_k})$ de $(u_{m_k})$ telle que $\forall k$, $10^k|u_{n_k}-m$.
-- Sinon on peut trouver une sous-suite $(u'_{m_k})$ strictement croissante et appliquer le lemme au rang $N$.


-->> Revenons à notre problème :

Si $S(2^n)$ ne divergeait pas vers $+\infty$, on pourrait trouver une suite d'entiers naturels strictement croissante $(m_k)$ telle que $(S(2^{m_k}))$ soit bornée. Puis d'après le lemme, un entier naturel $m$ et une suite d'entiers naturels strictement croissante $(n_k)$ tels que $10^k | 2^{n_k}-m$. On en déduirait que pour tout $k$, $2^k | m$, et donc que $m=0$, ce qui est impossible.

gerard0

Ok !