La quadrature du cercle est impossible, mais...

breukin

... mais qu'en est-il de celle de certaines ellipses ?

Autrement dit, existe-t-il un algébrique $ 0<e<1 $ (voire un rationnel) tel que
$$ \int_0^1 \sqrt{\frac{1-e^2 u^2}{1-u^2}} du $$ soit algébrique (voire rationnel) ?

Sylvain

A priori je dirais oui. Si e varie continûment, il en est de même de l'intégrande et donc de l'intégrale, qui prend alors au moins une valeur rationnelle.

bs

Bonjour,

L'aire d'une ellipse est $\pi ab$, maintenant pour ce qui est de la rectification de l'ellipse... ?
Voir dans l'article le DL de l'intégrale elliptique fournissant le périmète de l'ellipse: http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse

Amicalement.

breukin

Sylvain, bien sûr que $ E(e) $ prendra des valeurs algébriques ou rationnelles, mais seront-elles prises pour $ e $ algébrique ou rationnel. Tel est le problème.

Sylvain

En effet, j'ai lu un peu trop vite, désolé.