vacuité d'un ensemble

tenuki

Bonjour,

Pour $A$ un opérateur de rang fini dans un espace de Banach $E$, je considère l'ensemble des sous-espaces de dimension finie de $E$ contenant l'image et qui possèdent un supplémentaire sur lequel $A$ est nul.

Pensez-vous qu'on puisse affirmer en toute généralité que cet ensemble est non vide ? Si oui, voyez-vous un client qui vous saute aux yeux ou une preuve, même non constructive ?

Merci beaucoup !

C. de Pluquaire

Bonne nuit à tous,
Cher tenuki,
Tu devrais demander à un modérateur de transférer ton post en analyse, ou en topologie, où il devrait intéresser plus de monde (il pourra pas faire plus mal, en tout cas !).
Tu devrais considérer des cas particuliers au point de vue espace et opérateur (continu, au fait ?). Par exemple E de Hilbert où tu peux profiter des relations entre Im(A) et Ker(A), Im(A*), Ker(A*). Tu peux essayer une projection, etc.
Mais à vrai dire, je n'ai pas réfléchi à la question.
Bien cordialement.

tenuki

C'est fort juste. Merci d'ailleurs à l'anonyme modérateur qui a transféré ce message.

Finalement, la solution, c'est que je n'avais pas besoin du fait que l'espace contienne l'image ! Et dans ce cas c'est tout simple (le noyau est de codimension finie donc possède un supplémentaire de dimension finie qui est un bon candidat).

Pour ceux que ça intéresserait, c'était pour généraliser la notion de trace à des opérateurs de rang fini dans un Banach quelconque : ça paraît simple, mais Gohberg lui-même se plante dans un bouquin paru l'an dernier.

Merci encore

C. de Pluquaire

Bonne nuit à tous,
Cher tenuki,
Bravo pour ton travail qui, d'ailleurs, m'intéresserait: si tu y penses quand tu l'auras terminé ...
Kwàpien avait lui aussi défini une trace généralisée dans son exemple d'un sous-espace de l^p (donc réflexif) qui ne vérifie pas la conjecture d'approximation (et qui n'a pas de base de Schauder). Mais je ne me souviens de rien, à part que ça m'avais intéressé ...
Bien cordialement.

tenuki

Merci
Je ne sais pas ce qu'est une base de Schauder à vrai dire ! En tout cas, le travail est terminé : notre rapport est en pièce jointe.

C. de Pluquaire

Bonjour à tous,
Cher Tenuki,
Merci pour le rapport qui m'a semblé intéressant lors d'une rapide première lecture. Mais j'y reviendrai. J'aime beaucoup les opérateurs de Fredholm, et là je suis gâté !
La rédaction est de bonne qualité, en tout cas. Bonne chance et bon courage pour les fonctions L en p-adique (berk !).
Bien cordialement.