Espace contenant l'union

tenuki

Bonjour,

Je travaille sur des fonctions holomorphes à valeurs opérateurs. On a besoin à un moment donné de définir ce qu'est la trace pour un opérateur de rang fini dans un espace de Banach. Pour ce faire, l'auteur se trompe manifestement de condition : pour un opérateur donné, il considère l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension finie qui contiennent l'image de l'opérateur et sont d'intersection nulle avec le noyau. Il se trompe parce que si l'on pose par exemple $A(e_1)=e_2$ et $A(e_i)=0$ sinon, il n'y a pas d'espace vectoriel de dimension finie qui contienne l'image et qui soit d'intersection nulle avec le noyau...

La "bonne" condition pour définir la trace semble être de considérer l'ensemble des s-e.v. de dimension finie qui contiennent l'image et possèdent un supplémentaire topologique où la restriction de l'opérateur est nulle. Pour finir la définition de trace, il faut montrer que sur deux sous-espaces vectoriels F et G possédant la propriété que je viens d'énoncer, la trace est la même. Pour ce faire, il suffirait que je montre qu'il existe un espace H possédant la même propriété qui contienne et F et G. Mais je ne vois pas comment montrer l'existence de ce H. Est-ce que c'est très facile (du genre, je devrais le faire depuis la grande section et je suis juste fatigué) ? Moyennement facile (du genre technique) ? Très difficile ? Faux ?

Merci de vos lumières