R est somme de deux négligeables?

Said Fubini

Bonjour,
Existe-t-il deux ensembles négligeables $A$ et $B$ tels que $A+B=\R$ ?

Eric

Y a pas un théorème de Erdös qui dit que tout réel est la somme de deux nombres de Liouville ?

girdav

On peut prendre $A$ comme étant l'ensemble des nombres de la forme $\sum_{n=-j}^{+\infty}a_n10^{-n}$ où $a_n\in \left\{0,1\right\}$ et $a_n$ est nul pour $n$ pair et $B$ la même chose avec $a_$ nul pour $n$ impair. On peut écrire tout réel comme somme de tels nombres. Il reste à montrer que ces ensembles sont négligeables.

remarque

Y a pas un théorème de Erdös qui dit que tout réel est la somme de deux nombres de Liouville ?

En effet.

Plouf1

L'exemple de girdav est sans doute plus élémentaire. Dans le même genre on peut jouer à cherche deux mesures singulières vis à vis de Lebesgue et dont le produit de convolution est la mesure uniforme sur $[0,1]$ (par exemple).

remarque

Bof. La preuve d'Erdös est tout ce qu'il y a d'élémentaire, et d'ailleurs, un peu dans le même genre d'idées. Il donne aussi une preuve non constructive à la fin, très brève.

Plouf1

ok, faudra que je retrouve ce qu'est un nombre de Liouville alors

Plouf1

Effectivement ce n'est pas bien méchant.

remarque

En fait, le truc le plus lourd et de loin, c'est de montrer que les nombres de Liouville sont de mesure nulle...

Eric

Si on veut faire dans le bourrin, il dot y avoir un théorème de Khinchin pour régler ce problème ... L'ensemble des nombres dont la mesure d'irrationalité est strictement supérieure à 2 est de mesure de Lebesgue nulle.

remarque

En fait, suivant Erdös, il suffit de prendre deux $G_\delta$ denses de mesure nulle. C'est pas ça qui manque.

Gérard Letac

Si C est l'ensemble de Cantor, alors $A=C/2$ et $B=A+\mathbb{Z}$ conviennent tres bien. Amicalement.

christophe c

à Said: as-tu compris la réponse de girdav?

par exemple, 0,41879901591451... = 0,41555501551451.... + 0,00324400040000...

L'ensemble des réels qui s'écrivent (décimalement) avec que des chiffres compris entre 0 et 5 est de mesure nulle. Ca te donne d'ailleurs A+A=[0;1]