Famille de sphères à un paramètre

Bonjour,
je travaille sur les cyclides de Dupin, qui sont enveloppes de "sphères" à un paramètre.
Les coordonnées homogènes d'un point $M(x;y;z)$ sont $(x;y;z;\omega)$.
Les nombres $\varepsilon$ et $\varepsilon_1$ valent $-1$ ou $1$.

Dans cette famille, il y a deux plans d'équations $\varepsilon_1 c x - b z = \mu a \varepsilon_1 $ qui ont pour équations projectives $$ \varepsilon_1 c x - b z = \mu a \varepsilon_1 \omega$$
Les équations projectives des sphères sont :
$$ (x -c \, \omega \; \vrepsilon ch(t))^2+y^2+(z-b \, \omega \; sh(t))^2=(a \; ch(t)-\varepsilon \mu )^2\omega^2 $$
Pour montrer que la famille est continue, je pose $\omega=\dfrac{2}{e^t}$ et calcule la limite en $+\infty$.
J'obtiens tout ce qu'il faut (hormis $x^2+y^2+z^2$ qui me reste sur les bras) en développant et en passant à la limite c'est-à-dire le $\omega$ qui tend vers $0$, l'équation projective du plan.
Ensuite, je dis que l'on a bien $x^2+y^2+z^2=0$ puisque toutes les sphères passent par la conique absolue.

Est-ce correct ?
Merci d'avance à toute personne qui me répondra.
Lionel

Réponses

  • Bonjour à tous,
    je m'interroge : ma question est débile, ou personne n'a d'avis.

    Lionel
  • Ce n'est pas que ta question soit débile mais je ne vois pas où tu veux en venir.
    Qui dit continuité dit topologie.
    Quels sont donc les espaces topologiques en question dans ton problème et quelle est l'application dont il faut démontrer la continuité?

    Amicalement
    Pappus
  • Salut Pappus,
    en fait, je voudrais une seule équation : dans l'espace affine, on a des sphères, dans la fermeture projective de l'espace affine (on ajoute un hyperplan à l'infini), on a l'équation de deux plans.

    Si l'on prend l'autre famille de sphères définissant les cyclides de Dupin, on a pas de problème puisque toutes les sphères sont des sphères.

    En répondant à ta remarque, un plan est une sphère en géométrie conforme, et je m'interroge. En fait, je ne suis pas convaincu par ma démonstration.

    Lionel

    PS : désolé pour le temps de réaction, mais notre nouveau lotissement n'est pas encore raccodé par France Télécom, je n'ai donc accès au net que quand je suis à la fac.
  • Mon cher lionel21
    Effectivement, c'est de la géométrie conforme et il faut travailler dans l'espace des sphères.
    Regarde ce qui est dit dans le Berger où tu trouveras certainement d'excellentes références sur les cyclides de Dupin.
    Amicalement
    Pappus
  • Salut Papus,
    je suis en train de bosser sur l'espace des sphères et l'hypersphère de Mobius. Nous avons les formules de passage de l'espace affine à l'espace des sphères (et réciproquement) pour un plan et pour une sphère.

    Cela dit, en "géométrie projective classique", les points à l'infini de l'hyperbole d'équation $$\frac{x^2}{c^2}-\frac{z^2}{b^2}=1$$ sont de la forme $(c;0;b;0)$ et $(c;0;-b;0)$ et ce sont les vecteurs normaux de mes plans. La question que je me posais est de savoir si l'on pouvait avoir une seule expression pour la sphère et pour le plan dans ce cadre là.

    Cordialement,

    Lionel
  • Mon cher lionel
    J'avoue ne pas comprendre le sens mathématique de ta dernière phrase.
    Amicalement
    Pappus
  • En fait, la question est la suivante : en posant $w=\frac{2}{e^t}$ et en faisant la limite quand $t$ tend vers $+\infty$ dans la famille de sphères $$ (x -c \, \omega \; \vrepsilon ch(t))^2+y^2+(z-b \, \omega \; sh(t))^2=(a \; ch(t)-\varepsilon \mu )^2\omega^2 $$
    peut-on considérer que l'on obtient les équations des plans $$ \varepsilon_1 c x - b z = \mu a \varepsilon_1 \omega$$
    où les nombres $\varepsilon$ et $\varepsilon_1$ valent $-1$ ou $1$.

    Cordialement,

    Lionel
  • Mon cher lionel
    Ce qui m'inquiète beaucoup, c'est ta variable d'homogénéité $\omega$.
    En l'utilisant, tu quittes l'espace des sphères pour rentrer dans celui des quadriques projectives.
    Sans vouloir bourbakiser à mort comme le fait Berger, (mais as-tu jeté un coup d'oeil sur sa Bible?), une sphère généralisée $S$ est une forme quadratique affine de la forme:
    $A(X^2 + Y^2 +Z^2) + 2BX + 2CY + 2 DZ +F \in \R[X,Y,Z]$, définie à un facteur multiplicatif non nul près, où le quintuplet $(A, B, C, D, F) \in \R^{*5}$
    Il faut bien distinguer une sphère généralisée $S$ de son image:
    $\{Im(S) = (x,y,z)\in \R^3 \mid A(x^2 + y^2 +z^2) + 2Bx + 2Cy + 2 Dz +F = 0\}$ qui peut être vide, ce qui n'empêche pas ta sphère généralisée d'avoir droit de cité.

    Tu introduis une variable d'homogénéité $\omega$ et tu la fais dépendre d'un paramètre, je trouve cela un peu idiot!
    Ce sont les coefficients de ta forme quadratique affine qui doivent dépendre d'un paramètre et non les indéterminées.
    Tu peux te poser la question de savoir si la famille de sphères généralisées:
    $t \mapsto \R^*(A(t)(X^2 + Y^2 +Z^2) + 2B(t)X + 2C(t)Y + 2 D(t)Z +F(t))$ où $t$ appartient à un espace topologique de ton choix est continue et pour ce faire tu dois maitriser la topologie de l'espace projectif puisque le membre de droite de cette application appartient à un certain espace projectif.
    Amicalement
    Pappus
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