signe d'un polynôme

Said Fubini

Bonjour,

est ce que :

si$ P\in \R[X]$ et a au plus $n$ racines $t_1, .......t_n$ réelles en changeant de signe alors $P(t).(t-t_1)....(t-t_n)$ a un signe constant.

Et pourquoi?

jpdx

Cela résulte de ce que
$$P(t)=Q(t)\,(t-t_1)^{\alpha_1}\cdots (t-t_n)^{\alpha_n}$$
avec $Q\in\R[X]$ sans racine donc de signe constant et les $\alpha_i$ impairs.