Fonction analytique prenant certaines valeurs

breukin

Soit $ z_n $ et $ s_n $ deux suites de nombres complexes.
Existe-t-il, et sait-on construire (sous d'éventuelles conditions sur les suites $ z_n $ et $ s_n $) une fonction analytique $ f(z) $ dans un domaine contenant la suite $ z_n $ telle que $ f(z_n) = s_n $ ?

L'idée serait de trouver une fonction analytique telle que $ f(n) = p_n $ n-ième nombre premier.

Guego

J'ouvre mon Rudin à la page 354 (3ème édition en français) :

Théorème 15.13 : Soit $\Omega$ un ouvert du plan complexe et $A\subset \Omega$ un sous-ensemble sans point d'accumulation dans $\Omega$. A chaque $\alpha \in A$, on associe un entier naturel $m(\alpha)$ et, pour $0\leqslant n \leqslant m(\alpha)$, des nombres complexes $w_{n,\alpha}$. Il existe une fonction $f$ holomorphe sur $\Omega$ telle que, pour tout $\alpha\in A$ et $0\leqslant n \leqslant m(\alpha)$ :
\[ f^{(n)}(\alpha) = w_{n,\alpha} \]

Dans ton exemple, il suffit de poser $\Omega = \C$, $A = \N^*$, et $m(\alpha) = 0$ et $w_{0,\alpha} = p_{\alpha}$ pour tout $\alpha\in A$.

Sylvain

Voilà qui est intéressant...Peut-on déterminer si la "fonction de breukin" peut être prolongée analytiquement à $\mathbb{C}$ tout entier ? Si oui quel lien entretient-elle avec la fonction $\zeta$ de Riemann ?

breukin

OK, et sait-on construire une telle fonction ?

bosio frederic0

De telles fonctions existent. Pour les construire, tu peux te reporter au Rudin (par exemple) mais n'espere pas decouvrir quoi que ce soit sur les nombres premiers grace a une telle fonction. C'est a l'inverse la connaissance des nombres premiers qui pourrait renseigner sur de telles fonctions.