Théoreme des nombres premiers

Namiswan

Bonjour,
Cette semaine, je me suis ( enfin ) intèressé a la démo du TNP. Et comme d'habitude quand j'essaie de comprendre une preuve, j'essaie de la refaire moi même "à ma sauce", en essayant si possible de la simplifier au max, afin de réellement l'assimiler et en comprendre les idées essentielles. En l'occurence, je voulais comprendre pourquoi les preuves du TNP inséraient presque tout le temps les fonctions $\Lambda$ et $\psi$, cette derniere étant censée être une fonction de comptage des nombres premiers plus réguliere que $\pi$, et donc plus aisée à estimer. Et ce faisant, j'ai eu l'impression que la preuve s'adapte trés bien sans insérer de "fonctions annexes", juste en travaillant directement avec $\pi$. Et une telle preuve me semble être plus simple et aller plus droit à l'essentiel. Mais vu qu'aucune démo que j'ai lu ne procede ainsi, je me dis que peut être qu'une erreur m'a échappé, donc je vous livre ma démo pour que vous me dites ce que vous en pensez :

-Notations : Je reserve la lettre $p$ uniquement pour les nombres premiers : si j'indexe une somme ( ou un produit ) sur $p$, alors c'est sous entendu que cette somme est indexée sur les nombres premiers. Je note $\mathcal{H}$ l'ensemble des fonctions holomorphes sur $\{s|Re(s)>1\}$. Si $F$, $G$ sont dans $\mathcal{H}$, j'écrirais $F(s)\sim G(s)$ si $F-G$ se prolonge holomorphiquement sur un voisinage de $\{s|Re(s)\geq 1\}$ (l'idée étant d'utiliser le théorème tauberien de Newman dont je rappelle l'énoncé : si $f$ est une fonction mesurable bornée sur $R_+$ et si sa transformée de Laplace se prolonge holomorphiquement sur un voisinage de $\{s|Re(s)\geq 0\}$, alors $f$ est semi-intégrable ).

Je pars de la formule d'Euler :
$$\zeta(s)=\prod_p \left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}$$
Je prend le $\ln$ ( détermination principale )
$$\ln(\zeta(s))=-\sum_p \ln(1-\frac{1}{p^s})=\sum_p\frac{1}{p^s}+\sum_{p,k\geq 2}\frac{1}{kp^{ks}}$$
La derniere somme est holomorphe sur $\{s|Re(s)>1/2\}$, donc
$$\sum_p\frac{1}{p^s}+\sum_{p,k\geq 2}\frac{1}{kp^{ks}}\sim \sum_p\frac{1}{p^s}$$
D'autre part, une fois montré que $\zeta$ ne s'annule pas sur $\{s|Re(s)=1\}$, on obtient
$$\ln(\zeta(s))\sim -\ln(s-1)$$
En regroupant tout ceci, ca donne
\begin{equation}\sum_p\frac{1}{p^s}\sim -\ln(s-1)\end{equation}
Le terme de gauche peut se réécrire
$$\sum_p\frac{1}{p^s}=\int_2^{+\infty}\frac{d\pi(x)}{x^s}$$
Pour le terme de droite, on "primitive" la relation $\frac{1}{s-1}=\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^s}\sim \int_2^{+\infty} \frac{dx}{x^s}$ pour obtenir
$$-\ln(s-1)\sim \int_2^{+\infty} \frac{dx}{x^s\ln(x)}$$
Ainsi, (1) devient
$$\int_2^{+\infty}\frac{d\pi(x)}{x^s}\sim \int_2^{+\infty} \frac{dx}{x^s\ln(x)}$$
Puis en effectuant une intégration par partie
$$s\int_2^{+\infty}\pi(x)\frac{dx}{x^{s+1}}\sim s\int_2^{+\infty} Li(x)\frac{dx}{x^{s+1}}$$
La fonction $$s\rightarrow \int_2^{+\infty}(\pi(x)-Li(x))\frac{dx}{x^{s+1}}$$ se prolonge donc holomorphiquement sur un voisinage de $\{s|Re(s)\geq 1\}$, et on peut donc appliquer le théoreme tauberien de Newman ( précisément: on effectue un vhangement de variable $x=e^t$ et on applique Newman à la fonction $f(t)=(\pi(e^t)-Li(e^t))e^{-t}$ qui est trivialement bornée ). On obtient ainsi que $x\rightarrow \frac{\pi(x)-Li(x)}{x^2}$ est semi intégrable, et il s'en suit assez aisément que $\pi(x)$ est équivalent à $Li(x)$ en $+\infty$

Merci par avance pour votre attention et vos remarques

Sylvain

Un voisinage d'un point, je connais. Mais qu'appelles-tu voisinage d'un demi-plan ?

lili M

Sylvain, dans un espace topologique, un voisinage d'un sous-ensemble est un ouvert contenant ce sous-ensemble, ce n'est pas réservé aux points !

lili

borde

Les démonstrations "à la Newman" du TNP tournent toujours autour des idées écrites ci-dessus.

L'avantage de telles idées est assûrément une conclusion plus rapide que dans les méthodes dites classiques.

Le gros inconvénient est qu'elles ne fournissent aucun renseignement sur le terme d'erreur.

D'où deux illustrations possibles du TNP à mon sens :

(1) Ou bien on veut faire un exposé à visée pédagogique et/ou oral d'un concours, les versions newmaniennes sont suffisantes, et l'on peut effectivement se passer des sommes pondérées par des logarithmes (fonctions de Tchebichef $\theta$ et $\psi$).

(2) Ou bien on veut un énoncé que l'on puisse utiliser par la suite dans des calculs, alors il faut un terme d'erreur, aussi précis que possible, et le recours aux fonctions de Tchebichef et à l'artillerie complexe est alors nécessaire.

Il y a néanmoins une voie intermédiaire ; les théorèmes taubériens (Ikehara--Wiener, Hardy--Littlewood--Karamata, Riesz--Korevaar, etc) permettent l'obtention de termes d'erreur, certes pas aussi précis qu'avec les formules de sommation de l'analyse complexe, mais sans avoir recours aux estimations fines de $\zeta$ dans la bande critique.


Borde.

Namiswan

Ok, merci pour ces éclaircissements Borde. J'aurais cru que gagner une region sans zeros de zeta permettrait de faire des résidus sur de plus grand contours et obtenir ainsi un meilleur reste, mais donc apparament ce n'est pas le cas..( le fait d'avoir une borne "préliminaire" de la fonction est donc plus fondamental que je ne le pensais, je suppose..)

Les fonctions de Chebichev sont donc loin d'être nécessaire pour la preuve a Newman..Va savoir pourquoi tous les sites sur lesquels je tombais s'en servaient..bref.

Autre question : y a t-il une idée derriere la preuve du théoreme de Newman, ou est-ce juste "une astuce". Car je vois bien ligne par ligne que la preuve marche, mais le noyau utilisé me semble un peu sortir de nulle part, et du coup j'ai pas l'impression de comprendre ce qu'il se passe vraiment. Ce qui me chagrine un peu, car le passage taubérien est quand même un point clé de la preuve ( c'est ce qui permet d'effectuer le "retour à la réalité", si je puis dire..)

Sylvain

Merci lili pour la précision. Jusqu'à aujourd'hui je n'avais jamais entendu parler de "voisinage d'un ensemble", même si j'ai pensé à la lecture du post de Namiswan qu'il devait en quelque sorte s'agir d'une réunion de voisinages de chacun des points dudit ensemble.