Série entières : opérations

paspythagore

Bonjour,

je n'arrive pas à résoudre mon exercice.

Ennoncé a écrit:

$a_n$ converge, $S_n = \sum^n_{k=1} a_k$
$\sum a_n x^n$ et $ \sum S_n x^n$ ont un rayon de convergence supérieur à $1$.
On note $A$ et $S$ leurs sommes.

Montrer que : $\forall x \in ]-1, 1[, A(x) = (1-x) S(x)$

Merci de votre aide.

ev

Bonjour Papy.

Il est plus facile de montrer que : $\forall x \in ]-1, 1[, (1-x) S(x) = A(x)$...

amicalement,

e.v.

GreginGre

Peux-tu calculer le DSE de $(1-x)S(x)$ lorsque $-1<x<-1$ ?

oualors

faire un produit de Cauchy de $A(x)$ avec la série géométrique $\sum x^n$.

ev

$$(1-x) \sum^n_{k=1} a_k x^n = \sum^n_{k=1} a_k x^n - \sum^n_{k=1} a_k x^{n+1}.$$
Maintenant tu sommes cette égalité pour $n$ variant de $1$ disons jusqu'à $p$.
Dans la première somme tu effectues un décalage de l'indice $n$ en $m+1$ et dans la deuxième, $n$ tu appelles $m$. Tu simplifies à mort et tu fais tendre $p$ vers $+\infty$. La routine, quoi...

amicalement,

e.v.

ev

Tout le monde est déchaîné ce matin !

Allez, une transformation d'Abel ! Vas-y Papy !

amicalement,

e.v.

paspythagore

Très dur pour moi ces exos "théoriques", le cours est avare de correction détaillées. Merci de votre aide.

$S(x) = \sum_{n=0}^{+ \infty} S_n x^n = \sum_{n=0}^{+ \infty} \left( \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k \right) x^n $

Si je ne trouve pas, c'est qu'il y a déjà une erreur dans ce que je viens d'écrire ?

qadassi

Ce n'est pas très rigoureux, mais voici l'idée en reprenant la méthode de ev

$(1-x) S(x)= \sum S_n x^n - \sum S_n x^{n+1}= \sum (S_n -S_{n-1} )x^n= \sum a_n x^n =A(x)$

tu pourras la terminer en respectant les premiers termes, rayons de convergences....

rémi

Sans avoir rien regarder à l'exercice, je peux déjà te dire qu'il y a un $n$ qui est devenu un $+\infty$

Edit : d'ailleurs cette somme devrait commencer à 1 et pas à 0, si je ne m'abuse.

paspythagore

Merci rémi.

paspythagore

C'est ce passage que je ne comprends pas :

$ \sum S_n x^n - \sum S_n x^{n+1}= \sum (S_n -S_{n-1} )x^n$

Je réessaye en fin d'A.M.


Merci à tous.

rémi

J'ai l'impression que tu comprendras mieux en écrivant tout c'est-à-dire en écrivant les indices et des sommes partielles puis un passage à la limite.
Ce que je dis c'est exactement ce qu'ev a fait donc finalement ça doit pas trop t'aider :S
Je décris la démarche à partir de l'égalité de ton dernier message.
Réécris le membre de gauche avec de indice et des sommes partielle donc quelque chose comme $n=0\ldots N$.
Dans ce même membre, fais un changement d'indice sur la somme qui est soustraite.
Simplifie et fais tendre $N$ vers $+\infty$.
Tu devrais mettre donc calcul détailler qu'on voit vraiment où tu coinces. J'ai l'impression qu'on peut encore affiner l'endroit précis où tu coinces.

zephir

Bonjour,
citation : $ \sum S_n x^n - \sum S_n x^{n+1}= \sum (S_n -S_{n-1} )x^n$
Au premier membre il y a deux sommes pour $n$ allant de $0$ à $+\infty$.
Que devient la deuxième somme quand on y fait le changement d'indice $n'=n+1$, puis qu'on renomme le $n'$ qui est un indice muet en $n$ ?
Une fois cela vu, le reste suit assez facilement.

paspythagore

Désolé, je vais repartir dans l'autre sens (ev : transformation d'Abel).

$S_n - S_{n-1} = \sum^n_k a_k - \sum^{n-1}_{k-1} a_k = a_n$

$A(x) = \ds\sum_{n=1}^{+ \infty} (S_n - S_{n-1}) x^n = \sum_{n=1}^{+ \infty} (S_n x^n - S_{n-1} x^n) = S(x) - \sum_{n=0}^{+ \infty}S_n x^{n+1}$

Ca c'est mon premier point de blocage.

Le second est que je ne sais pas faire ça, non plus :

ev a écrit:

$\displaystyle (1-x) \sum^n_{k=1} a_k x^n = \sum^n_{k=1} a_k x^n - \sum^n_{k=1} a_k x^{n+1}.$


Maintenant tu sommes cette égalité pour $ n$ variant de $ 1$ disons jusqu'à $ p$.
Dans la première somme tu effectues un décalage de l'indice $ n$ en $ m+1$ et dans la deuxième, $ n$ tu appelles $ m$. Tu simplifies à mort et tu fais tendre $ p$ vers $ +\infty$. La routine, quoi...

Je suis preneur bien sûr d'exercices corrigés détaillés sur le sommes et de cours synthétique sur le sujet que je n'ai jamais eu.

Merci de votre patience.

qadassi

Comme $n$ commence à $0$ les puissances de $x$ commencent par $x$, que l'on peut mettre en facteur pour avoir
$\sum_{n=0}^{+ \infty}S_n x^{n+1}=S_0x+S_1x^2+S_2x^3.......=x(S_0+S_1x+S_2x^2.....)=xS(x)$

paspythagore

Et c'est tout..., et bien merci à tous, je travaille seul (avec vous) avec mes cours et exos corrigés et il m'arrive fréquemment d'être bloqué.

Encore merci.

paspythagore

Bonjour, je pose la question 1 après la question 2 mais je croyais avoir résolu la 1 alors qu'il n'en est rien.

enoncé a écrit:

On suppose que la série de terme général $a_n$ converge, et on note $S_n = \sum^n_{k=1} a_k$

Montrer que les séries entières $\sum a_nx^n$ et $\sum S_nx^n$ ont un rayon de convergence
supérieur à $1$. On note $A$ et $S$ leur somme.

Voilà où j'en suis :
La série de terme général $a_n$ converge donc $\displaystyle \ell = \lim_{n \to + \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ donc le rayon de convergence est égal à $\dfrac{1}{\ell} > 1$

Pour $\displaystyle \sum S_n x^n$ avec $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n a_k$, je ne vois pas.

gerard0

Bonjour.

La série de terme général $ a_n$ converge donc $ \displaystyle \ell = \lim_{n \to + \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1$

Comment sais-tu que $ \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ existe ?
Il y a tellement plus simple : Calcule $ \sum a_nx^n$ pour x = 1.

Cordialement.

paspythagore

Bonjour et merci de ton aide.

Si $x = 1, A(x) = \sum a_n = S_n$ et $S(x) = \sum a_n = S_n$

Or $S_n$ converge donc $R > 1$

Enfin si la convergence de la série implique le rayon de convergence simple correspondant. Moi je n'avais que l'inverse (la réciproque) : si le rayon de convergence est supérieur à la valeur absolue de $x$, la série $\sum a_n x^n$ converge.

paspythagore

Maintenant, il me faut déduire de tout ça que $A(x)$ tend vers $ \sum^{+\infty}_{n=0} a_n$ quand $x$ tend vers $1^-$ en découpant la somme $S(x)$ judicieusement.

gerard0

Moi je n'avais que l'inverse (la réciproque) : si le rayon de convergence est supérieur à la valeur absolue de $ x$, la série $ \sum a_n x^n$ converge.

Relis donc le théorème qui est à la base de la notion de rayon de convergence. Tu comprendras mieux ce que tu fais.

Cordialement.

paspythagore

{\bf Théorème} : Soit $\sum a_n z^n$ une série entière. Il existe un nombre $R \geq 0$ fini ou infini tel que :
i) Si $|z| < R$, la série numérique $\sum a_n z^n$ converge absolument,
ii) Si $|z| > R$, le terme général de la série numérique $\sum a_n z^n$ ne tend par vers $0$ et la série diverge.


{\bf Définition} : Le nombre positif $R$, fini ou infini, caractérisé par les propriétés i) et ii) du théorème précédent s"appelle le rayon de convergence de la série $\sum a_n z^n$.

{\bf Remarques} :
i) Le rayon de convergence d'une série entière $\sum a_n z^n$ est donné par la formule $R = \sup \left\{ r \in \R^+ | \sup_{n \in \N} |a_n|r^n < + \infty \right\}$
ii) Si $R = 0$, on dit que la série diverge.
iii) On ne peut rien dire de la convergence de la série $\sum a_n z^n$ lorsque $|z| = R$.

[Merci à Egoroff pour la correction du LaTeX. AD]

paspythagore

Oui merci, j'ai pas tout compris.

paspythagore

Bonjour,

Est ce que c'est juste ?

Si $ x = 1, A(x) = \sum a_n = S_n(x) $

Or $ S_n$ converge donc $ |x| \leq 1 < R$ (puisque $ \sum a_n x^n$ converge pour $x = 1$)

Si $ x = 1, S(x) = \sum S_n(x) x^n = \sum S_n = \sum \sum a_n$

Or $ \sum a_n$ converge donc $ |x| \leq 1 < R$ (puisque $ \sum S_n x^n$ converge pour $x = 1$)

Donc les deux séries entières ont un rayon de convergence supérieur ou égal à $1$.

dernière question a écrit:

Maintenant, il me faut déduire de tout ça que $ A(x)$ tend vers $ \sum^{+\infty}_{n=0} a_n$ quand $ x$ tend vers $ 1^-$ en découpant la somme $ S(x)$ judicieusement.

Merci de vos remarques et conseils.

gerard0

Non, tout ça ne va pas !

Et ton "merci, j'ai pas tout compris. " m'inquiète fortement. C'est la base de tout le travail sur les séries entières (il manque un petit quelque chose sur la convergence normale de la série sur un disque centré à l'origine et de rayon inférieur à R). Donc tu dois avoir cela, ou une forme équivalente dans ton cours (c'est la définition du rayon de convergence !).
Remarque ce que dit la contraposée de "Si $ \vert z\vert > R$, [..] la série ($ \sum a_n z^n$) diverge" : Si la série $ \sum a_n z^n$ converge, $|z| \leq R$. C'est ce qui va servir !

énoncé a écrit:

On suppose que la série de terme général $ a_n$ converge, et on note $ S_n = \sum^n_{k=1} a_k$
Montrer que les séries entières $ \sum a_nx^n$ et $ \sum S_nx^n$ ont un rayon de convergence supérieur à $ 1$. On note $ A$ et $ S$ leur somme.

Revenons à ce que tu écris :
Si $ x = 1, A(x) = \sum a_n = S_n(x) $
Il n'y a pas de $S_n(x) $ ! Tu écris n'importe quoi, c'est à dire que ce que tu écris n'a pas la signification que ça a pour n'importe qui connaît, comme toi l'énoncé, pire il n'y a que toi qui sait ce que c'est !
Donc fais attention à tes notations, et contente-toi d'appliquer des théorèmes (pour cela, apprends les règles de ton cours ou d'un bouquin).

J'arrête là, je veux bien aider, mais pas tirer sur une ambulance.

Cordialement.

paspythagore

Bonsoir et merci de ton aide. J'ai effectivement de grosses difficultés, en étudiant par correspondance (sans prof.). Les problémes de notations et les autres, personne ne me les a expliqué, en conclusion, malgré le temps que j'y passe, je rame.

Quand au

Oui merci, j'ai pas tout compris.

c'est par rapport à un problème informatique qui ne m'a permis de correctement déposer mon message ce matin.

C'est la réponse à

[Merci à Egoroff pour la correction du LaTeX.AD]

Bon week-end.

clothoide

Salut Gérard,

Sans prendre la défense de paspythagore qui semble étudier les mathématiques tout seul et à distance, il est donc dans mon cas. Et à la lecture de ce fil, il semble réellement avoir envie de comprendre...

Je reconnais également que la notion de rayon de convergence n'est pas du tout évidente à comprendre lorsqu'on étudie seul, et ce malgré toute la meilleure volonté du monde.

Lorsqu'on aborde les séries entières, cela commence à être de l'analyse fine. Et il faut déjà maîtriser pas mal de "matériel" pour pouvoir s'en sortir.

Connaître par coeur les théorèmes et les démonstrations est évidemment nécessaire, mais insuffisant. Il faut vraiment prendre le temps de maîtriser cette notion et cela ne se fait pas en une journée.

A titre personnel, je n'ai pas honte d'avouer qu'il y a 4 ans, lorsque j'ai préparé à distance le capes externe de math à distance, je n'ai absolument rien compris aux séries entières et à ces histoires de rayon de convergence. Aujourd'hui, je commence enfin à saisir un peu toutes ces notions.

Donc paspythagore, ne te décourage pas et continue de bosser...

Cordialement,
Clotho

gerard0

Paspythagore :

Quand au

Citation

Oui merci, j'ai pas tout compris.



c'est par rapport à un problème informatique qui ne m'a permis de correctement déposer mon message ce matin.

Difficile de penser à autre chose que le message précédent auquel tu réponds par la suite ! Donc désolé de t'avoir compris de travers.
J'espère que maintenant tu maîtrises le théorème fondamental sur les séries entières.

Pour toi, et aussi pour Clothoïde, que j'ai vexé autrefois (j'en suis désolé), je tiens à rappeler (pour l'avoir vécu, ayant appris une grande partie des mathématiques de L1 et L2 seul dans des bouquins) que la base est de connaître parfaitement les débuts des nouveaux chapitres, les définitions et théorèmes de base de chaque nouvelle notion. Autrement dit, il ne sert à rien de faire des exercices si on n'a pas passé assez de temps à comprendre correctement le sujet et les principales méthodes.
Quand je dis "apprends ton cours", c'est que tu butes sur une notion de base (je ne suis pas un spécialiste, j'ai vaguement appris ça il y a 40 ans sans jamais y revenir autrement que dans une présentation rapide pour des DUT) qui est l'essentiel.
Que de temps perdu à essayer de trouver un "truc" alors qu'il s'agit d'une application évidente des propriétés de base (évidente, quand on les a apprises) !

Cordialement.

clothoide

Gérard,

Je suis tout à fait d'accord avec toi sur la compréhension du cours, et ce qu'on étudie seul ou pas.

Malheureusement à partir d'un certain niveau, cela n'est plus suffisant ( mais nécessaire ) pour pouvoir aborder les exercices théoriques.

Il faut aussi être capable de savoir choisir les exercices adéquats pour illustrer les notions abordées, sans rentrer tout de suite dans la technicité. Et malheureusement, lorsqu'on étudie seul sans référent expérimenté, et bien ce n'est pas évident.

Alors, il y a les bouquins..etc, mais à partir d'un certain moment, quand c'est compliqué, c'est compliqué. Et il faut le temps que ça mature dans l'esprit.

Ensuite, on a chacun sa méthode de travail et sa façon d'assimiler des notions abstraites.

Moi personnellement, pour les notions compliquées comme le rayon de convergence, j'ai passé beaucoup de temps à faire des aller-retours sur des exemples tout simples d'application et la définition. Et cela me convient bien...Libre à chacun de savoir comment son "cerveau" fonctionne.

Et je ne dis pas encore que j'ai tout compris : mais je commence à avoir des bonnes certitudes sur ce sujet qui conditionne toute la compréhension de la théorie des DSE...donc ce n'est pas rien!

Aborder directement un nouveau cours de façon linéaire, ça ne marche pas dans mon cas. Et je n'imprime rien de cette façon.

Aussi, tu me concéderas que lorsque comme toi, et la plupart des intervenants sur le Forum, on manie depuis pas mal d'années des notions hyper abstraites - et les mathématiques sont abstraites- on a la facheuse tendance a oublier le temps qu'il a fallu à les acquérir pour pouvoir jongler avec.

Et c'est totalement humain comme réaction. Mais toutes les difficultés ne se résument pas uniquement à la connaissance même parfaite du cours et des démonstrations associées.

C'est imagé, on peut connaître parfaitement le code de la route. Mais ensuite quand on est au volant, c'est une autre paire de manches et tout peut arriver. Cela vient avec l'expérience qui s'acquiert en pratiquant, et avec les années.

Cordialement,
Clothoide

paspythagore

Merci à tous les 2,

ne soyez pas trop sévères quand je pose plusieurs fois la même question ou que mes réponses (aux exercices) sont à milles lieues de ce qu'il faut faire.
Je ne maîtrise certainement pas le cours et je continue de le bucher.
Pour le reste je suis un "vieil" étudiant, je ne me formalise plus trop. C'est juste que contrairement à ce que mes messages pourraient laisser penser, j'ai toujours un peu l'impression de déranger ou de prendre du temps aux bénévoles qui répondent et qui serait plus utile (le temps) à des élèves qui ne sont pas encore dans la vie active.

Bonne soirée.

gerard0

Paspythagore,

ne crains pas de gêner ceux qui vont te répondre ou de désavantager d'autres questionneurs. Ceux qui te répondent ont le temps, et chacun répond quand il en a envie.
Par contre, ne sois pas surpris qu'on te renvoie à l'apprentissage de la notion de base quand tu ne comprends pas, c'est que le coeur du problème est là, et que, comme c'est toi qui doit comprendre, seul toi peut relire et assimiler ce qui n'a pas été compris, donner du sens aux mots du théorème ou de la définition justement parce que c'est le bon moment puisque tu en as besoin.

Cordialement.

paspythagore

Merci, c'est noté.