"discret" ou "denombrable"

Yves0

Bonjour.
J'aimerais connaître les différences entre ces deux notions. Ce n'est pas très clair dans mon esprit.
Merci.

Fred5

Un ensemble est discret s'il n'est constitué que des points isolés par exemple $\N$ est un sous ensemble discret de $\R$ car pour tout entier $n$ on peut trouver un voisiange $V$ de $n$ dans $\R$ tel que $V \cap \N = \N$. La &quotdiscrétion" est donc une notion topologique (qui dépend de l'espace dans lequel $\N$ est plongé).

Un ensemble est dit dénombrable s'il existe une bijection de cet ensemble sur $\N$. Cette notion ne dépend donc que de l'ensemble lui même.

Des exemples:
$\{ \frac{1}{n} , n \in \N, n \neq 0 \}$ est dénombrable car équipotent à $\N$ mais n'est cependant pas un sous espace discret de $\R$ car 0 est un point d'accumulation.

De même $\Q$ est lui aussi dénombrable, cependant il n'est pas discret dans $\R$, en effet tout intervalle de réels contient une infinité de rationnels.

Il me semble par contre que l'on peut démontrer que tout sous espace discret de $\R$ est dénombrable, mais je ne me rappelle plus de la démonstration. Ceci est donc à mettre au conditionnel.

Bonne journée

Fred

Malot Philippe1

Discret : dont la topologie est discrète (l'ensemble des ouverts est l'ensemble des parties de l'ensemble).
Dénombrable : qui s'injecte dans N.
Tu vois bien que c'est complétement différent !
Bon par exemple, une partie A de R est discrète si pour tout x de A, on peut trouver e>0 tel que ]x-e,x+e[inter A={x}.
Q (muni de sa topologie usuelle) est dénombrable mais pas discret (il est même dense).

vincent31

Fred,
je crois que l'ensemble des inverses des entiers naturels non nul est discret.
On peut effectivement pour tout entier naturel non nul choisir un "rayon" dépendant de n de telle sorte que la boule centrée en n et admettant ce rayon ne contienne que 1/n dans notre ensemble considéré.

En revanche l'ensemble des rationnels (muni de la distance métrique usuelle), est dénombrable et n'est pas discret.

(NB: je suis depuis relativement peu sur ce site et moi aussi j'ai commis des imperfections )

Vincent (qui espère n'en n'avoir commis une de plus)

Olivier1

Bonsoir,

En effet, $\{\frac{1}{n},n\in \N,n \neq 0\}$ est discret, par contre $\{\frac{1}{n},n\in \N,n \neq 0\} \cup \{0\}$ ne l'est pas.

Amicalement.
Olivier.

Yves0

Merci pour vos réponses. Je pense avoir compris.

Eric1

<!--latex-->»> En revanche l'ensemble des rationnels (muni de la distance métrique usuelle), est dénombrable et n'est pas discret.«<
<BR>
<BR>Cette phrase m'a fait penser à une question.
<BR>
<BR>Si on munit <!-- MATH $\mathbb{Q}$ --><IMG WIDTH="16" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/31258/cv/img1.png&quot; ALT="$ \mathbb{Q}$"> non pas de la distance usuelle (associée à la valeur absolue), mais d'une distance p-adique, et si on considère alors <!-- MATH $\mathbb{Q}_p$ --><IMG WIDTH="24" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/31258/cv/img2.png&quot; ALT="$ \mathbb{Q}_p$">, l'ensemble des nombres p-adiques, <!-- MATH $\mathbb{Q}$ --><IMG WIDTH="16" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/31258/cv/img1.png&quot; ALT="$ \mathbb{Q}$"> est-il dense dans <!-- MATH $\mathbb{Q}_p$ --><IMG WIDTH="24" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/31258/cv/img2.png&quot; ALT="$ \mathbb{Q}_p$"> ?<BR><BR><BR>

Martial0

Yes. Une façon de le voir est de considérer le développement de Hensel, en le tronquant à la nième décimale, comme on fait dans $\R$ avec le développement décimal, par exemple. Je pense que tout ceci doit être très bien expliqué dans le livre de Descombes : Théorie des nombres.

Eric1

Merci Martial.

Julien0

Pour la question d'Eric : il y a une réponse plus simple ! Si $(A,d)$ est un espace métrique, $A$ est dense dans son complété par $d$. En effet, on peut voir le complété de $A$ comme le quotient de l'ensemble des suites à valeurs dans $A$ qui convergent pour $d$, par leur valeur limite, de la même façon que l'une des façons de construire $\R$ est de quotienter les suites convergentes de $\Q$ par la valeur de leur limite. Et $\Q_p$ est par définition le complété de $\Q$ pour $| \ \! . \ \! |_p$.