Définition suite équivalente.

clothoide

Bonjour,

J'ai besoin d'éclaircir le point suivant, concernant la définition de 2 suites équivalentes.

Soit $(\alpha)_n$ une suite de réels non nuls. On dit que la suite $(u_n)$ est équivalente à la suite $(\alpha)_n$ si le quotient $\dfrac{u_n}{\alpha_n}$ tend vers $1$, c'est à dire si :

$$\forall \epsilon>0 \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \forall n\geq N \quad \vert \dfrac{u_n}{\alpha_n} -1 \vert \leq \epsilon$$

Je crois commencer à avoir une certaine maîtrise de la signification de ces écritures, et dans le cas présent, vous m'accorderez que l'idée est de rendre la distance entre le rapport $\dfrac{u_n}{\alpha_n}$ et sa limite, ici $1$, aussi petite que possible.

Donc $\epsilon>0$, oui, mais choisir dans le cas présent $\epsilon=100,\cdots,10000$ ne présentent guère d'intérêt, par contre particulariser en prenant $\epsilon=\dfrac{1}{100},\cdots,\dfrac{4}{1000}$ par exemple a tout son sens dans le cas présent.

Autrement dit, et sauf erreur de ma part, j'ai plutôt l'impression qu'on gagne en précisant en débutant la définition de 2 suites équivalentes par $\forall \epsilon \in ]0,1[$.

Non?

Merci pour votre explication,

Cordialement,
Clotho

Lucas

On ne perd pas à le prendre dans [0,1], mais on ne gagne pas non plus.

clothoide

Salut Lucas,

Je comprends pas trop le sens de ta réponse:S

Quel est l'intérêt de choisir $\epsilon =1000$ ici ?

$\epsilon$ est nécessairement une quantité infiniment petite dans le cas de la définition de 2 suites équivalentes.

Merci

jpdx

clothoïde a écrit:

$ \epsilon$ est nécessairement une quantité infiniment petite

En mathématiques classiques, on ne parle pas de quantité infiniment petite.

Soient des réels $0<u<v$.
Si votre assertion est vraie pour $\varepsilon=u$, alors elle est vraie a fortiori pour $\varepsilon=v$.

Si l'on se donne un réel $a>0$ (fixé)., alors on peut donc se limiter à $\varepsilon\in]0,a]$.

Sylviel

Je rejoins ce qui a été dit sur le $\epsilon$, d'ailleurs c'est plus synthétique d'écrire $\epsilon>0$ que $\epsilon \in ]0;a]$ mais la phrase logique est équivalente.

Je voulais revenir rapidement sur ta définition de suite équivalente en te faisant remarquer que cette définition n'est pas tout à fait générale (rééls non nul), en général on lui préfère $v_n=\epsilon_n u_n$ avec $lim \epsilon_n = 1$

[Activation du \LaTeX. Bruno]

gerard0

Bonjour Clothoïde.

Une autre façon de voir cela : Dans une définition ou dans les hypothèses d'un théorème, on met tout ce qui est absolument nécessaire, mais rien de plus. Inutile de rajouter dans une preuve de limite (car ici c'est la définition de limite qui est en cause) la vérification que $\epsilon$ est inférieur à 1, qui ne sert pas (D'ailleurs, pourquoi 1 ? C'est un réel strictement positif comme les autres).

Cordialement.

clothoide

Ok, merci à vous tous,

Je sais bien que je vous donne l'impression de "buter" sur des évidences.

Mais c'est le métier qui rentre...

Cordialement,
Clotho

zephir

Bonjour Clotho,

Ta question porte sur le sens philosophique de l'équivalent et non sur la définition mathématique. En ce qui concerne ta définition mathématique, j'y vois deux inconvénients.
1- Elle ne fonctionne pas quand le dénominateur s'annule.
2- elle ne s'étend pas aux fonctions à valeurs vectorielles.

Elle a pourtant le mérite d'être commode quand les suites sont réelles et que la suite du dénominateur ne s'annule pas. Je lui préfère la définition suivante :
Les suites $(u_n)$ et $(\alpha_n)$ de réels sont équivalentes si $(u_n-\alpha_n)$ est négligeable devant $(\alpha_n)$.
Cette définition nécessite la connaissance préalable de"négligeable" (ou plus simplement $u_n=\o(\alpha_n)$). De plus, comme elle est dissymétrique en apparence, puisque $u_n$ et $\alpha_n$ ne jouent pas le même rôle, il faut démontrer qu'elle est en fait une relation symétrique.
Une fois cela fait, on essaie de comprendre le pourquoi de la définition de "négligeableé et on s'aperçoit que c'est une interprétation mathématique de la notion de petitesse. les autres explications de ce fil vont dans ce sens. On peut prendre $\epsilon>$ quelconque dans la formule pour ne pas apporter de limitations mathématiquement inutiles et encombrantes, mais il est évident que les deux formules :
$\forall \epsilon\in ]0,\dfrac 1 2], \exists N\in\N:\forall n\in\N,n\ge N \Rightarrow \vert x_n\vert \le \epsilon$
$\forall a>0, \exists N\in\N:\forall n\in\N,n\ge N \Rightarrow \vert x_n\vert \le a$
Sont équivalentes. Jai volontairement mis deux symboles différents.
Cela étant dit on revient rarement aux formules de définitions pour démontrer ce genre de choses On utilise plutôt les règles de calcul sur les $o$ et les $O$ qui sont codifiés et généralement acceptés par tous. Par exemple, écrire $v_n=u_n+\o(w_n)$ a un sens universellement accepté (je le pense en tout cas).

Cordialement;
zephir.

clothoide

Bonjour zephir,

Puisque j'ai posé une question, allons jusqu'au bout à présent si tu me le permets.

Pour démontrer la symétrie en question de la relation de négligeabilité dont tu parles, peut-on procéder de la façon suivante ?

Soit $R$ la relation "être équivalent à" définie comme suit :

Si $(u_n)$ $R$ $(\alpha_n)$, alors $u_{n} -\alpha_{n}=o(\alpha_n)$

Et pour démontrer la symétrie, il faudrait alors prouver que $(u_n)$ $R$ $(\alpha_n)$ implique $(\alpha_n)$ $R$ $(u_n)$

A mon humble niveau, je ne vois que ça comme approche pour démontrer la symétrie à laquelle tu fais allusion.

Mais ça remonte à très loin pour moi ce genre de relation, la symétrie, la réflexivité, la transitivité...et ce n'est pas à proprement parler dans mes priorités du moment.

Même si cela semble moins abstrait à comprendre que mes fameux développements en série entière!

Amicalement,
Clotho

Kito

Salut,

Commence par ecrire la definition de $\alpha_n-u_n=o(u_n)$ et ecris la defintion de ce que tu veux trouver $(u_n-\alpha_n=o(\alpha_n))$

zephir

Et pour démontrer la symétrie, il faudrait alors prouver que $ (u_n)$ $ R$ $ (\alpha_n)$ implique $ (\alpha_n)$ $ R$ $ (u_n)$

Dans la définition, on prend $\epsilon=\dfrac 1 2$, ce qui donne un certain $n_0$. Pour $n\ge n_0$ on a : $|u_n-\alpha_n|\le |\alpha_n|$.
Mais, par l'inégalité triangulaire, on a : $|u_n|-|\alpha_n|\le |u_n-\alpha_n|$ et $|\alpha_n|-|u_n|\le |u_n-\alpha_n|$. On déduit des trois inégalités, après réduction :$$\dfrac 1 2 |\alpha_n|\le |u_n| \le \dfrac 3 2 |\alpha_n|.$$Donc ...
De toute façon le fait que ce soit une relation d'équivalence est un théorème accepté sauf s'il fait l'objet explicite d'une question. Il est donc bon de savoir l'idée de la démonstration.

clothoide

Ok.

Ilexiste

Bonjour,

Du coup est-ce que je peux dire que deux suites sont équivalente si la suite résultante de la différence de ces suites tend vers 0?

Merci à vous

Guego

Non, cf $\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{2}{n}$ par exemple.

bisam

Ou encore $n+1$ et $n$ pour l'autre implication qui est fausse également.

Ilexiste

Merci à vous