Un autre DSE
Re,
Bon, j'espère que vous ne m'en voudrez pas d'ouvrir un autre fil.
Mais, j'ai vraiment besoin de votre aide là pour arriver au niveau nécessaire dont j'ai besoin. Et j'en ai les capacités et l'envie. Donc y-a pas de raison.
Seulement, je ne peux pas inventer ce que je ne sais pas...
Il s'agit cette fois-ci de la synthèse de la correction ( Monier Analyse MP) d'un DSE de la fonction définie sur $]-1,1[$ par :
$$f(x)= sh(Arcsin(x))$$ ( Il s'agit d'un sinus hyperbolique, mais je ne connais pas le Latex correspondant )
Je passe volontairement sur les détails pour arriver aux points précis soulevant mon incompréhension :
On aboutit par la méthode dite de "l'équation différentielle" à l'expression suivante, et techniquement cela ne me pose pas de soucis :
$(1-x^2)f^{2}(x) -xf'(x) -f(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} [ (n+2)(n+1)a_{n+2} -(n^{2} +1)a_{n}]x^n$
C'est ensuite que je ne saisis plus trop ce qui se passe :
$\forall n \in \mathbb{N},\quad (n+2)(n+1)a_{n+2} -(n^{2} +1)a_{n}=0$ (ok)
D'autre part : $a_{0}=f(0)=0$ et $a_{1}=f'(0)=1$, on en déduit que $\forall p \in \mathbb{N}, a_{2p}=0$
Là, je décroche totalement sur l'obtention de $a_{0}, a_1$ et la nullité des termes pairs.
Et comment fait-on pour arriver à l'expression suivante pour les termes impairs :
$a_{2p+1}= \dfrac{(2p-1)^{2} +1}{(2p+1)(2p)} \times \dfrac{(2p-3)^{2} +1}{(2p-1)(2p-2)} \times \cdots \times \dfrac{1^{2} +1}{3 \times 2} \times 1$
Je demande juste à ce que vous me mettiez sur la piste.
Merci
Cordialement,
Clotho
Bon, j'espère que vous ne m'en voudrez pas d'ouvrir un autre fil.
Mais, j'ai vraiment besoin de votre aide là pour arriver au niveau nécessaire dont j'ai besoin. Et j'en ai les capacités et l'envie. Donc y-a pas de raison.
Seulement, je ne peux pas inventer ce que je ne sais pas...
Il s'agit cette fois-ci de la synthèse de la correction ( Monier Analyse MP) d'un DSE de la fonction définie sur $]-1,1[$ par :
$$f(x)= sh(Arcsin(x))$$ ( Il s'agit d'un sinus hyperbolique, mais je ne connais pas le Latex correspondant )
Je passe volontairement sur les détails pour arriver aux points précis soulevant mon incompréhension :
On aboutit par la méthode dite de "l'équation différentielle" à l'expression suivante, et techniquement cela ne me pose pas de soucis :
$(1-x^2)f^{2}(x) -xf'(x) -f(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} [ (n+2)(n+1)a_{n+2} -(n^{2} +1)a_{n}]x^n$
C'est ensuite que je ne saisis plus trop ce qui se passe :
$\forall n \in \mathbb{N},\quad (n+2)(n+1)a_{n+2} -(n^{2} +1)a_{n}=0$ (ok)
D'autre part : $a_{0}=f(0)=0$ et $a_{1}=f'(0)=1$, on en déduit que $\forall p \in \mathbb{N}, a_{2p}=0$
Là, je décroche totalement sur l'obtention de $a_{0}, a_1$ et la nullité des termes pairs.
Et comment fait-on pour arriver à l'expression suivante pour les termes impairs :
$a_{2p+1}= \dfrac{(2p-1)^{2} +1}{(2p+1)(2p)} \times \dfrac{(2p-3)^{2} +1}{(2p-1)(2p-2)} \times \cdots \times \dfrac{1^{2} +1}{3 \times 2} \times 1$
Je demande juste à ce que vous me mettiez sur la piste.
Merci
Cordialement,
Clotho
Réponses
-
la fonction $f$ est impaire ...
-
Bonjour,
Oui, je sais et c'est mentionné dans mon corrigé assez détaillé également. Cela fonctionne comme les développements limités.
Mais cela ne répond pas à mes questions, qui correspondent à des points bien précis que je ne comprends pas.
Cordialement,
Clotho -
Les valeurs de \(a_0\) et \(a_1\) sont tout simplement obtenues à partir de la formule de Taylor : \(a_n = \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\).
Ensuite, il suffit de réécrire \((n+2)(n+1)a_{n+2} - (n^2+1)a_n = 0\) sous la forme \(a_{n+2} = \dfrac{n^2+1}{(n+2)(n+1)}a_n\).
D'une part, cela met en évidence que, si \(a_n\) est nul, alors il en est de même de \(a_{n+2}\), donc que, par récurrence, les termes d'indices pairs sont nuls.
D'autre part cela permet le calcul de \(a_3\), \(a_5\), \dots\ à partir de \(a_1\), de conjecturer l'expression de \(a_{2n+1}\), et enfin de prouver le résultat par récurrence. -
Eh bien on a $\sinh (\arcsin (0))=\sinh(0)=0$, donc $f(0)=0$.
Et justement, que vaut $a_0$ pour une fonction $f$ développable en série entière? -
clothoide a écrit:On aboutit par la méthode dite de "l'équation différentielle" à l'expression suivante, et techniquement cela ne me pose pas de soucis :
$ (1-x^2)f^{2}(x) -xf'(x) -f(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} [ (n+2)(n+1)a_{n+2} -(n^{2} +1)a_{n}]x^n$
Si f est DSE, alors le premier membre est DSE, et comme il est égal à 0, alors, par unicité du DSE, tous ses coefficients sont nuls.
Je crois que ceci répond à ta première question.
Ayant calculé les $a_n$, tu trouves ainsi une série entière de TG $a_nx^n$ de rayon de convergence 1 et dont la somme $g$ vérifie la même équation diffrentielle, et les mêmes conditions initiales que $f$. Elles sont donc égales sur $]-1,1[$, d'après le théorème de Cauchy Lipschitz.
La détermination de $a_0$ et $a_1$ se fait avec les conditions initiales.
[edit : gb a répondu à ta deuxième question. Bonjour gb. Toujours très actif;)] -
Bonjour gb et Lucas,
@Lucas : grâce aux explications de gb, j'aurais $a_{0} = f(0) = 0$
@gb : je ne me souvenais plus de cette relation liant $a_n$ et $f_n$.
Et dans ce cas précis au niveau de la rédaction, pour la nullité des termes pairs, c'est considéré comme évident ?
Ou il faut le prouver par récurrence, en détaillant?
Merci
Clotho -
Nos réponses se sont croisées zephir.
Je viens seulement de prendre connaissance de ton intervention.
Faut que je regarde dans mon livre de cours ce qu'on appelle le théorème de Cauchy. La correction de JMM cite aussi ce théorème.
Clotho -
Bonjour clotho.
Tu peux te servir de l'unicité du DSE pour $f(x)$ et $f(-x)$.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Je viens de consulter la page dédiée au Théorème de Cauchy-Lipschitz mentionnée par zephir, et ça a l'air aussi incompréhensible que dans mon bouquin:S.
A comprendre, dans le sens ou c'est du "costaud" théoriquement parlant.
Et les équations différentielles ne sont pas à mon programme de révision à proprement parler pour cette année.
Dans mon bouquin de cours, il est fait allusion à des "problèmes de Cauchy" avec à chaque fois des énoncés différents suivant la méthode choisie pour résoudre une équation différentielle.
Que faut-il savoir très exactement au sujet de ce théorème pour résoudre ce genre d'exercice sur les DSE?
Je vous demande du sur-mesure là, et j'en suis bien conscient.
Mais c'est pour la bonne cause
Clotho -
Le théorème de Cauchy-Lipschitz admet, dans le cas des équations linéaires, une version à connaître et qui dit :
Soient $I$ un intervalle de $\R$, $E=\R \ ou\ \C$ $a,b,c$ des fonctions continues de $I$ dans $E$, avec la condition :$a$ ne s'annule en aucun point de$I$,
Soient de plus $(t_0, y_0,y'_0)\in I\times E \times E$. Alors ll existe une unique fonction $f\in C^2(I,E)$ qui vérifie les conditions :$$\forall t\in I,\ a(t)f''(t)+b(t)f'(t)+c(t)f(t)=0,\ f(t_0)=y_0,\ f'(t_0)=y'_0$$ Cette formule est appelé "équation différentielle avec conditions initiales" ou "conditions de Cauchy".
[edit : mise en gras après coup, car l'hypothèse est importante] -
Merci beaucoup zephir.
Je note ça dans mon cahier, et je vais l'apprendre par coeur cette version là.
Si je dois en savoir une, ben ça sera celle là
Clotho
[en comprenant de quoi il en retourne bien sûr] -
En fait c'est très simple.
Tu pars de la fonction \(f\) explicitement connue, et tu établis qu'elle est satisfait
\[\forall x \in ]-1;1[, \ (1-x^2)f''(x) - xf'(x) - f(x) = 0\]
avec \(f(0) = 0\) et \(f'(0) = 1\).
Tu pars d'une série entière, \(\sum a_n x^n\),avec \(a_0=0\) et \(a_1 = 1\), de rayon de convergence supposé non nul \(R\), de somme \(S(x)\) pour \(x\in]-R,R[\).
Tu sais que \(S\) est indéfiniment dérivable sur \(]-R,R[\) et que ces dérivées successives s'obtiennent en dérivant terme à terme la série entière, tout en conservant le même rayon de convergence; en particulier \(S(0) = 0\) et \(S'(0) = 1\).
Tu en déduis
\[\forall x \in ]-R,R[, \ (1-x^2)S''(x) - xS'(x) - S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} [(n+2)(n+1)a_{n+2} -(n^2+1)a_n]x^n,\]
donc que \(S\) la fonction nulle si, et seulement si,
\[\forall n \in \N, \ (n+2)(n+1)a_{n+2} - (n^2+1)a_n =0.\]
Cette relation de récurrence conduit à l'existence et l'unicité d'une série entière \(\sum\limits_{n\geq0} a_{2n+1}x^{2n+1}\) dont les coefficients satisfont la relation de récurrence
\[a_{2n+3} = \frac{(2n+1)^2+1}{(2n+3)(2n+2)}a_{2n+1} = \dfrac{2n^2+2n+1}{(2n+3)(n+1)}a_{2n+1},\]
ce qui permet de calculer le rayon de convergence par la règle de d'Alembert :
\[\lim_{n\to\infty} \left\vert \frac{a_{2n+3}x^{2n+3}}{a_{2n+1}x^{2n+1}} \right\vert = \lim_{n\to\infty} \left\vert \frac{2(n+1)^2+2(n+1)+1}{(2n+3)(n+1)}.\frac{(2n+5)(n+2)}{2n^2+2n+1} x^2 \right\vert = x^2,\]
d'où \(R = 1\).
Tu connais donc deux solutions de l'équation différentielle \((1-x^2)y'' - xy' - y = 0\) avec les conditions initiales \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 1\) :
– la fonction initiale \(f\), solution sur \(]-1;1[\) ;
– la somme \(S\) de la série entière, solution sur \(]-1;1[\).
C'est là qu'intervient, de façon ponctuelle mais essentielle, le théorème de Cauchy-Lipschitz : il assure que \(S\) est la restriction de \(f\) à \(]-1;1[\). -
Ben, merci gb, c'est top !
Je comprends mieux ta rédaction, que celle disponible dans mon ouvrage pourtant bien fait.
Bon, si grâce à vous tous, je n'arrive pas à avoir mon UV séries et intégrations, c'est que je ne suis pas fait pour les mathématiques. Et je n'ouvrirai plus jamais un bouquin de math de ma vie
Plus sérieusement, juste pour la diffusion d'un savoir abstrait, il fallait inventer internet !
C'est un outil de communication fantastique pour apprendre...
Clotho -
Bonjour gb,
J'ai mis cet exo de côté pour l'étudier un peu plus tard...disons avec un regard neuf, car je le trouve assez formateur techniquement parlant.
Dans le sens ou il y a pas mal de choses à savoir faire pour le traiter correctement.
Et j'ai 2 questions concernant ta rédaction intégrale.
1°) la nullité "évidente" des termes pairs.
Comment faut-il traiter une telle question le jour d'un concours? Car c'est l'objectif de ma préparation actuelle.
Dans le cas d'une rédaction de la récurrence. Est-ce correct?
On a auparavant obtenu $a_{2p+2} =\dfrac{(4p^{2}+1)}{(2p+2)(2p+1)} \times a_{2p}$
Désignons par $P(p)$ la propriété : "le terme pair $a_{2p+2}$ est nul". Si $p=0$ on a $a_{2}=\dfrac{1}{2} a_{0}=0$, car $a_{0}=0$ d'après les conditions initiales.
Donc $a_{2}=a_{0}=0$ ; raisonnons par récurrence, en supposant $P(p)$ vérifiée au rang $p$, et montrons que $P(p+1)$ est vraie.
On écrit que : $a_{2(p+1)+2}=a_{2p+4}= \dfrac{( (2p+2)^{2} +1}{(2p+4)(2p+3)} \times a_{2p+2} =0$
Mais $a_{2p+2}=0$, par hypothèse de récurrence, ce qui permet de conclure et d'obtenir :
$$\forall p\geq 0,\quad a_{2p+2}= \cdots=a_2=a_0=0$$
2°) la solution DSE obtenue.
Lorsque tu me précises à la fin de ta rédaction que le théorème de Cauchy-Lipschitz assure que $S$ est la restriction de $f$ à $]-1,1[$, et si j'ai bien compris, cela signifie qu'on obtient en raisonnant de cette façon qu'une seule "partie" de la solution globale.
On a une solution globale $f$ de notre équation différentielle, et on vient de montrer que sur cet intervalle, elle est développable en série entière de somme $S(x)$.
Et en dehors de cet intervalle, que peut-on dire?
Peut-on affirmer son existence?
Merci pour tes réponses, dont la dernière est à titre "culturel",
Clotho -
Je ne sais de quel concours tu parles, et je ne sais pas quel niveau tu as. Personnellement pour les concours de grandes écoles j'aurai écrit la formule reliant $a_{2p+2}$ et $a_{2p}$, ajouté que $a_0=0$ puis dit : par récurrence on voit que tout les termes pair sont nuls. Et encore en début de copie seulement, après je compte sur la confiance de l'examinateur obtenu par mes premières question pour aller plus vite.
A priori (mais je ne suis pas retourné étudié les hypothèses de ce cas précis) Cauchy-Lipschitz t'assure l'existence et l'unicité d'une solution maximale, généralement sur $\mathbb{R}$ s'il n'y a pas de pathologie sur les coefficients. Ici tu exploites l'unicité sur ]-1;1[ seulement car la solution n'est DSE que sur cet intervalle. En dehors de l'intervalle tu ne peux pas dire que la solution est somme de son DSE (ou alors tu commence à t'intéresser à des définitions de "somme" qui sont complètement hors de ton programme)
En espérant t'avoir éclairé sans dire de bêtises -
Salut Sylviel,
Merci pour ta réponse au niveau de la récurrence.
Oui, je pense qu'au niveau de la rédaction de la récurrence, tu as certainement raison, le correcteur sera plus ou moins exigeant en fonction du niveau de la copie. Mais je souhaitais avoir l'avis d'un correcteur confirmé de concours, et je suis sûr qu'il y en a parmis les intervenants du Forum, histoire de ne pas perdre quelques centièmes de points
Sinon, pour le concours en question, je préfére ne pas rentrer dans les détails, c'est assez perso.
Mais disons que ce n'est pas un concours type grande école au sens standard du terme. Il y a aura 2 épreuves de 4 heures dont une de probabilités ( niveau ESSEC même un peu plus, mais sans faire appel à la théorie de la mesure ), et une autre d'analyse.
Mon programme de révision est très axé sur les intégrales généralisées et séries ; ce qui sert en proba quoi...
Ils demandent un excellent niveau en analyse.
Voilà,
Cordialement
Clotho -
Bonjour Clothoïde.
Sans précision sur le concours, difficile de donner des indications sur le niveau de rédaction demandé. Il est tellement différent d'un concours à un autre. S'il s'agit d'un concours d'enseignement, tu peux tenter un MP à Bruno qui a dû participer au jury de Capes (ou d'agreg). Pour moi, je ne peux que te donner le niveau pour le concours de CPE : pas de maths !
Bonne chance ! -
Sans vous préciser le concours que je prépare en particulier, car cela relève du domaine de ma vie privée, et en se plaçant dans le cadre d'un concours d'entrée grandes écoles scientifiques de type Ensae par exemple, faut-il préciser la récurrence comme je l'ai fait?
Ou "par récurrence immédiate" est suffisant.
Merci d'avance,
Clotho -
Vaste question Clotho.
"par récurrence immédiate" est souvent une bonne rédaction. Elle a l'inconvénient d'être dangereuse !
C'est une source d'erreur récurrente, si j'ose dire.
Lorsque tu vois arriver une floppée de récurrences - disons floppée > 2 - je te conseille de bétonner la première. Les suivantes n'auront pas besoin d'être détaillées, le correcteur te respectera.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonsoir ev,
Merci pour ta réponse,
Dans ce cas, est-ce que la rédaction que j'ai "postée" ce matin pour les termes pairs du coefficient de ma série est correcte ?
Ensuite, je ne vous embête plus avec ce fil, promis
Clotho -
Bonsoir Clotho.
Je trouve ça un peu brouillon. Il faut aller à l'essentiel, surtout lorsque c'est évident. Si tu as vraiment besoin d'une récurrence bétonnée, je te propose~;
Désignons par $P(p)$ la propriété : "le terme pair $a_{2p}$ est nul".
On a $a_0 = 0$ car $a_0 = f(0) = 0$. Donc $P(0)$.
Soit $p$ un entier. Démontrons $P(p) \Rightarrow P(p+1)$.
Supposons $P(p)$, c'est-à-dire $a_{2p} = 0$.
On a auparavant obtenu, pour tout entier $p$, $a_{2p+2} =\dfrac{(4p^{2}+1)}{(2p+2)(2p+1)} \times a_{2p}$
Comme $a_{2p} = 0$, on en déduit $a_{2p+2} =\dfrac{(4p^{2}+1)}{(2p+2)(2p+1)} \times 0 = 0$ c'est-à-dire $P(p+1)$.
On a bien démontré $\forall p\in\mathbb N,\,P(p) \Rightarrow P(p+1)$.
On a donc démontré par récurrence, $\forall p\in\mathbb N,\,P(p)$, c'est-à-dire $\forall p\in\mathbb N,\,a_{2p} = 0$.
Je rappelle que l'intérêt d'une telle rédaction c'est de montrer au correcteur que tu sais rédiger une démonstration par récurrence. Mathématiquement, aucun intérêt. Autrement dit, la récurrence est évidente.
Maintenant, correcte, pas correcte, c'est une question de goût. Je pense qu'avec une rédaction comme la tienne, tu auras les points de la question, mais tu ne te feras pas respecter. Je veux dire par là que tu ne feras pas basculer le correcteur. Tu fais basculer le correcteur lorsqu'il prend la copie horizontale de son bureau pour s'adosser à son fauteuil et la lire comme s'il s'agissait d'un journal. Et ça, ça vaut beaucoup plus qu'un pou-ième de point sur une récurrence à deux balles.
On rédige une composition de maths comme une compo de français. Avec son style propre, ses omissions, en mettant l'accent sur ce qu'on estime important, en construisant quelque chose de consistant. C'est un peu plus qu'une série de recettes.
A part ça, tu as ma recette de la récurrence, même si je préfère les crèpes.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Merci beaucoup ev pour ta rédaction.
Cela me montre bien vers où je dois me diriger, car je veux faire basculer le correcteur...
On est bien d'accord, c'est une récurrence évidente. Mais je voulais voir la rédaction "parfaite" dans ce cas précis...
Allez, je vous embête plus avec ce fil
Bonne fin de soirée,
amicalement,
Clotho -
Bonjour
merci de m'aider à résoudre cette équation par la méthode des séries entières. (1+x*x)y"+3*xy'+y=0
avec y(0)=1 et y'(0)=0
arpés simplification j'ai trouvé : n indice (n+2)=-((n+1)/(n+2))*a indice n
merci de votre aide -
En $\LaTeX$, je suppose que ça donne: $a_{n+2}=-\dfrac{n+1}{n+2}a_n$.
On a aussi$ a_0=1,a_1=0$ vu les hypothèses.
Tu as fait le plus dur.
Par récurrence, tu montres que $a_{2m+1}=0$ pour $m\geq 0$.
Ensuite, pour les termes pairs: tu peux poser $b_m=a_{2m}$. Tu as $b_{m+1}=-\dfrac{2m+1}{2m+2}b_m$, avec $b_0=1$. Il ne t reste plus qu'à essayer de deviner le résultat en calculant les premières valeurs, et à le démontrer par récurrence...
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