Principe du maximum
Réponses
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Bonsoir,
Je crois plutot qu'ils ont considéré que $u_{-}=-\chi_{u < 0}u$
Le cas pù $u \geq 0$ est trivial.
On suppose donc que $u < 0$ et posons $\Omega_{-}=\{x \in \Omega, u(x) < 0\}.$ C'est un ouvert non vide.
De plus, $\bar{L}u=Lu-c u \geq 0$ dans $\Omega_{-}$ et $\bar{L}$n'a pas de terme d'ordre 0.
Et d'après le cas (i), on a
$$\mathrm{min\,}_{x \in \bar{\Omega}_{-}}=\mathrm{min\,}_{\partial\Omega_{-}}(u(x))$$
Jusque là, j'ai compris.
Mais après, ils disent ceci:
Or on a:
$$\mathrm{min\,}_{x \in \bar{\Omega}}(u(x))=\mathrm{min\,}_{x \in \bar{\Omega}}(u(x))$$
Par définition de $\Omega_{-}$ puisqu'en dehors de $\Omega_{-}$ où $u$ est strictement négative, $u$ est positive. Par ailleurs, $u \leq 0$ sur $\partial \Omega_{-},$ donc $u=-u_{-}$ sur $\partial \Omega_{-}.$ De plus, $$\partial \Omega_{-}=(\partial \Omega_{-} \cap \Omega) \cup (\partial \Omega_{-} \cap \partial \Omega)$$ Or si $x \in \partial \Omega_{-} \cap \Omega$ alors $u(x)=0$ ( sinon $u(x) < 0$ implique que $x \in \Omega_{-}$).
Cette dernière partie m'échappe complétement. Pourquoi faire tous ces détours?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience. -
Cauchy a écrit:$ u_{-}=-\chi_{u\leq 0}u$doc a écrit:Je crois plutot qu'ils ont considéré que $ u_{-}=-\chi_{u < 0}u$
Tu penses vraiment qu'il y a une grosse différence ?
Et qui sont "ils" ?doc a écrit:Le cas pù $ u \geq 0$ est trivial.
On suppose donc que $ u < 0$
Mais $u<0$ n'est pas la négation de $u \geq 0$ ! D'ailleurs si on supposait $u<0$, on aurait $\Omega_-=\Omega$, etc.doc a écrit:$\displaystyle \mathrm{min\,}_{x \in \bar{\Omega}_{-}}=\mathrm{min\,}_{\partial\Omega_{-}}(u(x))$
Jusqu'ici rien d'étonnant... Qu'est-ce que tu ne comprends pas exactement ? On a obtenu que le min est atteint sur la frontière de $\Omega_-$, et on veut en déduire qu'il est atteint sur la frontière de $\Omega$. A priori la frontière de $\Omega_-$ n'est pas entièrement incluse dans celle de $\Omega$, il y a aussi une partie dans l'intérieur (fais un dessin). On veut montrer que le min n'est pas atteint sur cette dernière partie. C'est très simple. -
Mais, cette démonstration est pour $\bar{L}u=Lu-c u$ et le but ne serait pas d'utiliser un $L$ qui contient le terme $cu?$ Pour faire la difference avec le cas (i).
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.
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