Isomorphisme de groupe de matrices

Namiswan

Bonjour! Une question que je me suis posé: si K et L sont 2 corps, et si GL_2(K) est isomorphe à GL_2(L) ( en tant que groupes multiplicatifs ), est-ce que en fait K et L sont isomorphes ( en tant que corps..)

PB

Bonjour,

(contribution triviale)

Si deux groupes sont isomorphes, leurs centres le sont aussi.
Donc les groupes $K^*$ et $L^*$ sont isomorphes.

Il doit falloir maintenant regarder autre chose que les centres...
parce que $K^*$ et $L^*$ isomorphes n'implique pas $K$ et $L$ isomorphes
(penser à $\mathbf F_3(t)$ et $\mathbf Q$).

cargol

Bonjour.

A priori la réponse à la question posée est oui. Voir le message de DSP sur le lien suivant :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,496161,496311#msg-496311

Namiswan

Merci Cargol. Bon il donne juste un lien et pas la solution, mais en tout cas la solution de Gl_n iso a Gl_m =>m=n est interressante

Eric Chopin

Effectivement le message de DSP ne concerne pas le meme probleme.
Pour completer la reponse de PB tu peux considerer le sous
groupe des matrices valant 1 sur la diagonale, une valeur non nulle a la 1ere ligne de
la derniere colonne et 0 ailleurs. Du coup avec la remarque de PB
on a bien isomorphisme pour les 2 lois de groupe, donc isomorphisme de corps (si je ne me trompe).

A+

Eric

PB

@Eric. Il y a deux choses pas claires pour moi dans ta tentative :

1- Le sous-groupe de GL(2,K) formé des matrices triangulaires supérieures avec une diagonale de 1 (et un coefficient *éventuellement* nul au dessus de la diagonale) n'est pas, a priori, défini "intrinsèquement" (contrairement au centre par exemple). Donc il n'est pas, a priori, "conservé" par isomorphisme.

2- Si deux corps ont leurs groupes additifs et multiplicatifs respectivement isomorphes, ils ne sont pas nécessairement isomorphes (en tout cas ce n'est pas totalement évident, ou alors je suis fatigué).

Eric Chopin

Salut PB,

Je suis d'accord sur le fond pour le 1, mais je ne vois pas le rapport avec la question
(mais moi aussi je suis fatigué...pas mal déneigé ces jours-ci... ;-) )...?

Pour le 2 OK pour moi, on peut en effet construire 2 fonctions , chacune etant
un isom de groupe mais il faudrait construire une unique fonction qui soit
un isomorphisme pour les deux lois et c'est effectivement moins evident.

Donc on fait comme si j'avais rien dit...

Eric
ps: en plus dans mon exemple il faudrait encore justifier
que l'image du sous groupe unipotent est un sous groupe unipotent (c'etait ca ta remarque PB?)...

Namiswan

PB écrivait:

---

> 2- Si deux corps ont leurs groupes additifs et
> multiplicatifs respectivement isomorphes, ils ne
> sont pas nécessairement isomorphes (en tout cas ce
> n'est pas totalement évident, ou alors je suis
> fatigué).


Je crois que comme contre exemple on peut prendre Q(X) et Q. Je crois que leur groupe additifs et multiplicatifs sont isomorphes, mais qu'ils ne sont pas isomorphes en tant que corps.. Enfin, a vérifier quoi^^

scoubidoo

Les groupes multiplicatifs de $\mathbb{Q}(X)$ et $\mathbb{Q}$ sont bien isomorphes (tout deux sont isomorphes à
$\mathbb{Z}^{(\mathbb{N})}\oplus \{1,-1\}$).
Par contre pas leurs groupes additifs.
Si on considère $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ et $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ leurs groupes multiplicatifs et additifs sont isomorphes:
Les groupes additifs sont tout les deux isomorphes à $\mathbb{Q}\oplus \mathbb{Q}$
Les deux groupes multiplicatifs sont isomorphes à $\mathbb{Z}^{(\mathbb{N})}\oplus \{-1,1\}$ (merci au théorème des unités de Dirichlet).

Namiswan

Exact, me suis planté... En fait je crois que le contrexemple que j'avais obtenu ( mais c'était il y a longtemps..), c'était plutôt Q(X) et Q(X,Y)...mais c'est chiant de montrer qu'ils ne sont pas isomorphes d'aprés mes souvenirs..

PB

Pas isomorphes comme corps : facile, si on dispose de la définition (et des résultats qui vont avec) du degré de transcendance.

Namiswan

Ok, bon bah je ne possede malheureusement aucune notion sur les degrés de transcendance. Moi ca a été plus à la main. En résumé, c'était:
-Si ya un tel isomorphisme, alors y aurait aussi un iso entre $Q(X)$ et $Q(X_1,...X_p)$ pour tout p
-Dans $Q(X_1,...,X_p)$, ya des automorphismes d'ordre $p$ ( en prenant une permutation cyclique des variables )
-Un automorphisme de Q(X) est déterminée par l'image de X, qui doit être une homographie, qui se représente par une matrice A 2*2 à coeff rationnels, et les puissances de l automorphisme correspondent aux puissances de A.
-Pour p premier >3, l équation $A^p=I_2$ n a pas de solutions a coeff rationnels autre que l identité...

Voila, plus à la main donc, comme je disais

PB

C'est joli, avec les automorphismes

dSP

Je confirme qu'étant donné deux corps commutatifs $\mathbb{K}$ et $\mathbb{L}$, si $SL_2(\mathbb{K})$ est isomorphe à $SL_2(\mathbb{L})$, alors $\mathbb{K}$ et $\mathbb{L}$ sont isomorphes.

Vous trouverez à l'adresse suivante une preuve manuscrite en 7 pages (pas le temps de la mettre au propre, désolé) : SVdW.zip

Désolé pour la cacographie (merci à l'intervenant m'ayant corrigé).

Léon

Un peu HS, mais est-ce que cacographie ne serait pas mieux? Évidemment, les non-hellénistes auront plus de mal... C'est une remarque en passant, je ne voudrais pas que le fil s'oriente vers l'étymologie.

Namiswan

Merci dsP je vais étudier ca...:)-D