Classification de sous groupes

Eric Chopin

Bonsoir a tous,

A l'occasion d'un calcul j'ai été amené a considerer différents types de
sous groupes d'un groupe abelien localement compact quelconque $G$. Je ne m'interesse
qu'aux sous groupes fermés et si je note $N$ un tel sous groupe j'ai été amené a considerer
les 2 cas suivants pour $N$:

- Soit $N$ est 2-regulier (c-a-d $x \mapsto 2x$ est un automorphisme de $N$)
- Soit $G/N$ est compact.

Et je me demandais si de facon generale un sous groupe fermé de $G$ est forcément (ou non)
dans une de ces 2 categories, et dans les cas que je manipule je n'ai pas trouvé de contre-exemple
(espaces vectoriel sur un corps local de caracteristique nulle, groupe fini, voire meme adeles).

Si quelqu'un a une idee de sous-groupe fermé qui n'entrerait pas dans une de ces categories ca
m'interesse.

Merci,

Eric

Vincent

J'ai l'impression d'obtenir un contre-exemple avec G = R \times R/Z et N = 0 \times R/Z.

N n'est pas 2-régulier puisque 2(1/2) =0 et G/N = R n'est pas compact !

Est-ce bien le cas ?

Eric Chopin

Ah oui effectivement, comme en fait je considere uniquement G self dual
ce genre d'exemple ne m'a pas sauté aux yeux...
Du coup je me demande ce que ca donne si on rajoute cette hypothese...

Merci en tous cas,

Eric

Vincent

Si on fait G= R/Z \times Z et N = R/Z ? ca marche ? c'est une proposition tenant compte du fait que je ne connais pas la défintion exacte "d'autodual" Est-ce que autodual signifie simplement isomorphe à son dual ?

Eric Chopin

Ca me semble un bon contre-exemple en effet (auto dual ayant effectivement la definition que tu dis).

Merci,

Eric