Génératrice de Möbius

breukin

Que sait-on de la fonction $ m(z) = \sum_{n=1}^\infty \mu(n)z^{n-1} $, définie pour $ |z| < 1 $ ?
Comment en trouver un prolongement analytique ?

Par du calcul formel à valider, on peut inférer $ m(1) = \sum_{n=1}^\infty \mu(n)z^{n-1} |_{z=1} = \sum_{n=1}^\infty \mu(n)n^{-s} |_{s=0} = 1/\zeta(0) = -2 $ et $ m'(1) = \sum_{n=1}^\infty \mu(n)(n-1)z^{n-2} |_{z=1} = \sum_{n=1}^\infty \mu(n)(n-1)n^{-s} |_{s=0} = 1/\zeta(s-1)-1/\zeta(s) |_{s=0} = 1/\zeta(-1)-1/\zeta(0) = -10 $, ce que le tracé graphique rend très vraisemblable.

Le tracé graphique laisse penser que $ \lim_{z\rightarrow -1} m(z) = -\infty $ encore qu'un équivalent ne soit pas facile à inférer.

On trouve deux zéros réels en 0.580294623807326... et –0.780226324947599...

borde

Quelques infos en vrac (un peu à côté de la question posée).


Les séries entières à coefficients les fonctions arithmétiques usuelles ne sont pas aussi étudiées, en arithmétique, que les séries de Dirichlet car elles sont moins bien adaptées aux propriétés multiplicatives de leurs coefficients.

Ceci étant, puisque $\mu$ est l'inverse de convolution de la fonction constante égale à $1$, l'inversion de Möbius s'écrit (formellement) dans ce cadre sous la forme :

$$g(z) = \sum_{n=1}^{\infty} f(z^n) \Longleftrightarrow f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(n) g(z^n).$$

On sait aussi (depuis peu, me semble-t-il) que la série $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \mu(n) z^n}$ est transcendante sur $\mathbb{Z}[z]$.


Un autre type de séries est également étudié : les {\it séries de Lambert}, de la forme $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n x^n}{1-x^n}}$. Lorsque les $a_n = f(n)$ sont des fonctions arithmétiques multiplicatives de série de Dirichlet $F(s)$ et si on pose $G(s) = \zeta(s) F(s)$, alors on a

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n) x^n}{1-x^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (f \star \mathbf{1})(n) x^n$$

où $u \star v$ est l'usuel produit de convolution de Dirichlet des fonctions arithmétiques $u$ et $v$.

En prenant $f = \mu$ et en se rappelant l'inversion de Môbius (classique) qui s'écrit $\mu \star \mathbf{1} = e_1$ où $e_1(n) = \begin{cases} 1, & \mathrm{si\ } n=1 \\ 0, & \mathrm{sinon} \end{cases}$ on obtient :

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n) x^n}{1-x^n} = x.$$


Borde.

Utilisateur anonyme

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B......t

Voir aussi l'article de Stefan Gerhold:

S. Gerhold, Asymptotic Estimates for Some Number Theoretic Power Series, 2009. (to appear)

C'est le n°15 là:

http://www.fam.tuwien.ac.at/~sgerhold/publications.html

Utilisateur anonyme

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breukin

Et pourtant, le graphique semble très convaincant que $ m(1) = -2 $ !
Mais peut-être n'est-ce pas contradictoire ?

Pouvez-vous donner la démonstration du point ci-dessus, par exemple pour $ \theta = 0 $ et $ \epsilon = 1/2 $ ?

Utilisateur anonyme

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