distance, espace métrique

Jimmy

Bonsoir tout le monde,

Soit $X$ un espace métrique et $A \subset X$
On définit $dist(x,A)=\inf\limits_{y\in A}||x-y||$, pour $x \in X$

Je n'arrive pas à montrer que si $A$ est fermé, alors $d(x,A) > 0$
Par ailleurs, je sais que si $x$ est adhérent à $A$, alors $d(x,A)=0$

Merci pour votre aide.

[Corrigé selon ton indication et celle de Sylvain. AD]

Sylvain

Salut,

J'imagine que c'est $A\subset X$ ?

Jean Cocteau

Salut Sylvain

Oui, désolé, je ne l'avais pas vu à l'aperçu.

remarque

Si $A$ est fermé et $x\notin A$, alors il existe une boule ouverte de rayon $r>0$ centrée en $x$ telle que $B(x,r)\cap A=\emptyset$, car le complémentaire d'un fermé est un ouvert.

ju0

Bonjour à tous.

Voici un exercice de mathématique. On demande de vérifier que l'ensemble (Rⁿ) muni de l'application d₂(x, y) = sup|xi - yi| est un espace métrique pour i compris entre 1 et 3.

Aidez-moi à vérifier cela.
Merci beaucoup d'avance

GreginGre

Ca ne serait pas plutôt $d_2(x,y)=\underset{1\leq i\leq n}{sup}\vert x_i-y_i\vert $?

Bon, de toute façon, il suffit d'appliquer la définition d'une distance. Il y a 3 choses à vérifier...
Qu'as-tu fait?

ju0

Oui oui c'est exactement celui là que tu as écris. En fait je sais qu'il y a 3 choses à vérifier.
1) d2(x,y) = 0, ssi x = y
2) d2(x,y) = d2(y,x)
3) d2(x,y) <= d2(x,z) + d2(z,y) : inégalité triangulaire. En fait c'est surtout cette partie d'inégalité triangulaire qui me reste à vérifier.
Alors si quelqu'un a la solution, merci de m'aider

gerard0

Bonjour JU.

Une idée : Pour tout i, $|x_i - y_i| \leq d_2(x,y)$ (tu vois pourquoi ?). En combinant avec l'inégalité triangulaire dans $\R$, tu devrais y arriver.

Cordialement.

ju0

En fait je connais là où on doit arriver avant de conclure que d2 est une distance.
En fait il faut que j'arrive à démontrer que Sup/xi-yi/ <= Sup/xi-zi/ + Sup/zi-yi/ c'est à dire alors que d2(x,y) <= d2(x,z) + d2(z,y) et donc l'inégalité triangulaire est donc vérifié.
Mais comment y arrivé à cela?

GreginGre

Gérard t'a donné toutes les indications qu'il faut, tu n'as plus qu'à écrire les 3 lignes qui manquent.

Bon travail.

ju0

En Fait je remercie beaucoup Gerard0 pour ces indications mais j'avoue que ça ne me permet pas de résoudre l'exercice. Il ne s'agit pas d'écrire les propriétés mais il s'agit de les vérifier.
Les 2 premières propriétés me semblent être facile à vérifier. C'est l'inégalité triangulaire qui me reste à vérifier.
En fait j'ai plusieurs autres exercices de même types. Mais si j'arrive à voir la méthode pour démontrer un, cela me permet de m'en inspirer pour résoudre les autres.

Merci d'avance pour vos aides

GreginGre

JU a écrit:

En Fait je remercie beaucoup Gerard0 pour ces indications mais j'avoue que ça ne me permet pas de résoudre l'exercice.

Ben si, pourtant. Déjà, est-ce que tu comprends la définition du sup, et est-ce que tu sais comment montrer une inégalité du genre "$sup(trucs)\leq machin$" ?

gerard0

JU,

C'est bien pour l'inégalité triangulaire que je te propose cela. Tu vas pouvoir partir de :
$ |x_i - y_i| \leq |x_i - z_i|+|z_i - y_i|$ et choisir l'indice i qui réalise le maximum de $ |x_i - y_i|$. Le premier membre sera la distance entre $x$ et $y$, et il ne reste qu'à majorer le deuxième.

Cordialement.

koko4

BONSOIR
on a quel que soient x,y,z
|xi-yi| = |xi-zi + zi-yi|
|xi-yi| =< |xi-zi| + |zi-yi|
sup|xi-yi| =< sup|xi-zi| + sup|zi-yi|
d(x,y) =< d(x,z) + d(y,z)
Comme ça on vérifie que d est une distance.