problème de dérivabilité

brux

Bonjour,

je me pose une question :
soit $f \in L^1([0,1])$ et
$$F(x)=\int_0^x f(t) dt \quad(x\in[0;1]).$$

La fonction $F$ est absolument continue donc, pour presque tout x,
$F$ est dérivable en $x$ et $F'(x)=f(x)$.

Peut-on trouver $f$ et $x$ tels que $F$ est dérivable en $x$ mais $F'(x)\not = f(x)$ ?

Merci d'avance pour votre aide.

Bruno

gb

Bonjour,

Que se passe-t-il si \(f\) est l'indicatrice des rationnels ?

brux

Quelle rapidité ! Je venais de trouver ce contre -exemple et m'apprêtait à faire disparaître le message

La prochaine fois, je réfléchirais un peu.... !

Merci,

Bruno

remarque

En fait, ta question n'est pas bien posée, puisque modifier $f$ sur un ensemble de mesure nulle ne change pas $F$. En tant que fonction de $L^1$, l'indicatrice des rationnels est la fonction nulle.

brux

Je ne vois pas bien en quoi la question est mal posée. En revanche je saisis bien qu'elle est triviale. Penses-tu à une question voisine qui elle ne serait pas triviale ?

remarque

C'est mal posé au sens où l'écriture $f(x)$ pour $f\in L^1$ n'est pas correctement définie. Mais c'est vrai que je pensais peut-être triviale...:D Une question voisine (à laquelle je n'ai pas de réponse) consiste à choisir un représentant précisé de $f$. Par exemple, celui obtenu à partir du théorème des points de Lebesgue, en mettant $0$ en dehors des points de Lebesgue.

brux

J'avoue ne pas bien comprendre ce que tu dis concernant les points de Lebesgue (je connais la définition). Tu peux préciser ? Cela m'intéresse.

remarque

En tout $x$ un point de Lebesgue, $\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f(t)\,dt$ a une limite quand $r\to 0$. Ceci ne dépend que de la classe d'équivalence de $f$. On peut donc poser $\bar f(x)=\lim_{r\to 0}\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f(t)\,dt$ quand $x$ est un point de Lebesgue, et $\bar f(x)=0$ sinon, et définir ainsi un représentant spécifique de $f$. Dans le cas où $f$ est continue, c'est le représentant continu. On n'est pas loin de la dérivée de $F$.

Toto.le.zero

Juste une confirmation, il me semble que ça marche aussi quand $x$ est dans $\R^n$ ?

Si oui (ce que je suppose de mémoire), quelqu'un peut-il rappeler en deux, trois mots le principe de la preuve ? A vue de nez, je dirais en le montrant d'abord pour les fonctions étagées puis pour tout le monde par densité.

[La case LaTeX. AD]

Said Fubini

Bonsoir
La demonstration est detaillée dans l'ex http://math1.unice.fr/\~{}bertheli/Page_Web/Agreg/FeuillesTD/TravailSemaineFevrier.pdf

http://math1.unice.fr/\~{}bertheli/Page_Web/Agreg/FeuillesTD/TravailSemaineFevrier.pdf