Généralisation aux fonctions L

breukin

Mis plutôt ici en arithmétique plutôt qu'en analyse, même si le sujet fait la grande connexion entre les deux...

Si $ \rho $ parcourt l'ensemble des zéros de $ \zeta $ dans la bande critique, on a, sauf erreur (au demeurant, j'en ignore les démonstrations) :
$ \displaystyle \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} = x - \ln 2\pi - \frac{1}{2} \ln(1-x^{-2}) - \sum_{n \le x} \Lambda(n) $
$ \displaystyle \sum_\rho li (x^\rho) = li(x) - \ln 2 + \int_x^\infty \frac{dt}{t(t^2-1)\ln t} - \sum_{n=1}^\infty \frac{\pi(x^{1/n})}{n} $
Quelles sont les généralisations de ces formules lorsque $ \rho $ parcourt l'ensemble des zéros d'une fonction $ L $ (associée à un caractère de Dirichlet primitif) dans la bande critique ?

borde

Tiens, (enfin) un sujet de TAN...


Soit $\chi$ un caractère primitif de module $q > 1$ et soit $c > 1$ une constante. On note $\psi(x,\chi) = \sum_{n \leqslant x} \chi(n) \Lambda(n)$ et $\psi_0(x,\chi) = \frac{1}{2} \left ( \psi(x^+,\chi) + \psi(x^-,\chi) \right )$. Alors on a pour tout $x \geqslant c$ et $T \geqslant 2$ :

$$\psi_0(x,\chi) = - \sum_{\substack{\rho \\ \left | \gamma \right | \leqslant T}} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \frac{1}{2} \log (x-1) - \frac{\chi(-1)}{2} \log(x+1) + C(\chi) + R(x,T;\chi)$$

avec

$$C(\chi) = \frac{L'}{L} (1,\overline{\chi}) + \log \frac{q}{2 \pi} - \gamma_0$$

(j'ai noté ici $\gamma_0 \approx 0,577 \, 215 \dotsc$ la constante d'Euler pour ne pas confondre avec la partie imaginaire $\gamma$ d'un zéro de la fonction $L$ associée à $\chi$) et

$$R(x,T;\chi) \ll \min \left ( 1, \frac{x}{T \langle x \rangle} \right ) \log x + xT^{-1} (\log xTq)^2$$

où $\langle x \rangle$ désigne la distance de $x$ à la puissance d'un nombre premier la plus proche.

La preuve utilise les formules de sommation de Perron combinées avec des estimations de $\dfrac{L'}{L}(\sigma \pm it, \chi)$ dans la bande critique. En faisant $T \longrightarrow \infty$, on obtient immédiatement

$$\psi_0(x,\chi) = - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \frac{1}{2} \log (x-1) - \frac{\chi(-1)}{2} \log(x+1) + C(\chi).$$

En pratique, on utilise des versions tronquées de ces formules. Elles sont toutes des cas particuliers de ce que l'on appelle les {\it formules explicites de Weil}. En particulier, on a des formules similaires pour les fonctions $\zeta_{\mathbb{K}}$ de Dedekind d'un corps de nombres.


Borde.