C'est quoi un modèle ?

Bonjour,

J'ai déjà posté cette question dans le forum de logique, mais sans succès, j'essaye donc ici, au cas où quelqu'un pourrait me simplifier mes cauchemars ...

Lorsque je travaille sur un modèle particulier (lorsque je fais des mathématiques ordinaires ;-)), j'éprouve rarement le besoin de considérer que l'ensemble sous-jacent est un élément d'un modèle de ZF, en particulier si je dois interpréter un symbole de constante dans mon modèle, mais pour interpréter un symbole de fonction ou de relation, se plonger dans un modèle de ZF est bien pratique, ou pour parler de cardinal (surtout infini), par exemple. Mais, dans la plupart des cas, une notion " naïve " de collection suffit.

Dès que j'ai besoin de plusieurs modèles, les considérer comme des éléments d'un modèle de ZF devient très intéressant, par exemple pour parler de morphisme entre eux, et dans le cadre de la théorie des modèles, il est difficile de parler de tels morphismes ou de cardinaux sans la base formelle offerte par ZF, même si on n'utilise que très peu de la " puissance " de ZF.

Mais si on dit qu'un modèle (d'une théorie quelconque) est un élément d'un modèle de ZF, cela entraîne que ce modèle de ZF (qui n'est qu'une théorie parmi d'autres) est lui-même un élément d'un modèle de ZF qui lui-même est un élément d'un modèle de ZF … et ainsi de suite …

De plus, si je plonge les modèles d'une théorie donnée dans un modèle de ZF, je dois pouvoir le faire dans un autre (tous les) modèle(s) de ZF, sans pouvoir établir le moindre rapport entre mes deux familles de modèles, ou alors il faut que mes deux modèles de ZF se plonge dans un modèle de ZF commun, et cela sans que rien ne me garantisse que les morphismes entre modèles de ces deux familles aient du sens (ou même existent) dans le " grand " modèle. Par exemple si je prends une théorie -catégorique, rien ne garantit que ses modèles de cardinal dans les différents modèles de ZF (plongés dans un même modèle de ZF), et uniques dans chacun d'eux, soient isomorphes (au sens du grand modèle), par exemple si l'un des " petits modèles " est dénombrable (au sens du grand) et pas l'autre.

J'avoue que j'ai beaucoup de mal à me dire, par exemple, que lorsqu'on fait de la théorie des modèles, tous les modèles (y compris ceux de ZF)sont plongés dans un modèle de ZF (ou de ZFC) qui lui-même n'est qu'une collection (ensemble naïf) sur laquelle on ne fera rien de bien particulier.

Bref aucune de ces façons de voir (un modèle est ou n'est pas un élément d'un modèle de ZF) ne me donne satisfaction, quelqu'un aurait-il un éclairage.

Cordialement

Médiat

Réponses

  • Bin tout ceci n'est pas très formel.

    Au commencement sont les énoncés, et non pas les modèles. Et il y a des énoncés qui parlent de modèles, peut-être que ça t'aidera?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe chalons écrivait:
    > Bin tout ceci n'est pas très formel.
    >
    > Au commencement sont les énoncés, et non pas les
    > modèles. Et il y a des énoncés qui parlent de
    > modèles, peut-être que ça t'aidera?


    Bin non, pas vraiment. Les cours de théories des modèles commencent tous plus ou moins de la même façon :
    a Model consists, first of all, of a Universe A, a non empty set. [Chang et Kiesler].
    C'est quoi un ensemble non vide dans cette phrase, en particulier si je veux parler d'un modèle de ZF ?
  • Mais ce ne sont pas comment commencent les cours qui font "autorité" fondatrice. C'est comment sont les preuves et les textes.

    La première chose à dire c'est qu'on produit des textes qui en théorie doivent être des preuves formelles. Ce qui n'est pas précédé d'un donc est "axiome", puis à la ligne.

    Après, seulement après, on a "l'impression" qu'ily a une réalité platonicienne référée par ces échanges texttuelles. Et là on commence à parler de nombres, de mondes, de modèles, etc. Et comme tu l'a remarqué toi-même, naturellement, sont utilisés sans être justifiés un partie des énoncé qui sont des axiomes de ZF.

    Après psychanalyse, au début du siècle, un certain nombre de ces axiomes ensemblistes ont été "coming-outé" officiellement en tant qu'axiomes pour former un système officiel et formel à sa voir ZF(C), mais c'est très secondaire.

    D'une manière générale, on ne justifiait pas (disons avant), autant des notions premières "atomiques" (nombres, objets géométriques) que des axiomes constamment utilisés qui était tous de l'une des 2 formes suivantes:

    1) l'extensionnalité

    2) $\exists a\forall x:x\in a$ si et seulement si $R(x)$

    Remarque: l'axiome du choix fondamentalement peut être mis sous une des formes (2) avec un petit effort

    En fait, tu te prends la tête un peu inutilement, car à l'arrivée, c'est la nature des maths que tu risques de "louper". A l'arrivée, de toute façon, dans CHAQUE texte que tu produiras, ce que tu n'auras pas jusitifé (th des ens ou non), c'est la spécifité des maths, se verra formellement sans peine et sera des axiomes (tes axiomes!). Le reste est un peu HS à vrai dire.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Ceci étant d'ailleurs dit pour toute la science, théorie des modèles, maths non logiciennes, théorie des modèles quantiques (qui n'existe pas encore), etc
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Médiat> à mon (humble et non autorisé) avis, l'univers U des objets que l'on appelle ensembles, ainsi que la relation d'appartenance qu'ils entretiennent (ou pas) et dont on suppose qu'ils satisfont aux axiomes de ZF n'est pas un modèle. Ou alors, il faudrait le nommer "modèle intuitif". Comme les entiers intuitifs qu'on manipule avant d'avoir écrit la moindre définition et le moindre théorème dans ZF, comme ses axiomes et énoncés que l'on devrait nommer énoncés intuitifs. Ensuite, dans ZF, on définit des objets que l'on devrait qualifier de formels pour marquer la différence avec leurs analogues intuitifs, les entiers formels (ensembles transitifs bien ordonnés par € et la relation opposée), les énoncés formels (suites finies de symboles au sens formel où les suites et les ensembles finis sont définis dans ZF), les modèles formels, etc. Bien entendu, ces définitions de structures formelles ont pour but de serrer au plus près les propriétés intuitives de leurs homologues intuitifs, mais on sait maintenant que c'est un voeux pieux (existence d'entiers non standard parasites, énoncés formels composés d'une infinité, au sens intuitif, de symboles, etc). Pour résumer, les objets formels sont des copies le plus fidèle possible construites après coup d'objets intuitifs donnés de prime abord, et il est impératif de ne pas confondre les uns et les autres.

    Donc quand tu parles de modèle de ZF comme tu le fais, tu parles simultanément de deux choses distinctes, d'où la confusion et le malaise.
  • Un modèle de ZF qui contient ton modèle c'est un cardinal inaccessible depuis ton modèle. Donc quelque chose de juste assez gros pour que tu ne puisses pas y faire référence.
  • DFF, je suppose que tu voulais parler "pédagogiquement"?

    Parce que, sinon, si on ne se préoccupe pas de bonne fondation et qu'on accepte tous les modèles, y compris les malfondés, c'est quand-même un peu plus compliqué. En particulier, il existe des modèles arithmétiques (et même pas trop loin du niveau récursivement énumérable) de ZFC (tu prends la branche la plus à gauche dans l'arbre de recherche d'une contradiction, enfin, tu le sais mieux que moi lol)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • bonjour Médiat

    tu plonges dans les modèles mathématiques grands ou petits (ZF ou ZFC)
    comme d'autres se délectent des modèles économétriques reconnus ou confidentiels (IS.LM ou CES)

    j'aurai tendance à dire que tout cela relève des gadgets scientifiques

    en toute amitié
  • Merci Christophe, GG et deufeufeu pour vos réponses, je me gratte la tête depuis que je les ai lues, j'y reviendrai quand j'aurai atteint le cerveau.

    Médiat
  • Bonjour,

    Désolé pour avoir mis tant de temps à répondre, mais j'avais les neurones englués dans une angine ...

    Si j'ai bien compris vos réponses, mon impression première qu'il s'agissait d'un problème d'oeuf et de poule (ou de moteur immobile pour faire plus classe) est confirmé ; un moyen "simple" de briser le cercle vicieus étant de déclarer :

    Axiome : il existe un modèle de ZF

    Et au besoin on précise que ce modèle est "très grand".


    Par contre la phrase de Christophe :
    "En particulier, il existe des modèles arithmétiques (et même pas trop loin du niveau récursivement énumérable) de ZFC (tu prends la branche la plus à gauche dans l'arbre de recherche d'une contradiction, enfin, tu le sais mieux que moi lol) "
    est un peu obscure pour moi : je crois comprendre que le modèle dont tu parles est le modèle d'Ackermann, mais la suite (la branche la plus à gauche ...) n'évoque rien pour moi, si tu pouvais expliciter un peu ...

    En tout état de cause merci encore à vous trois.
  • ZFC est un système formel, et à ce titre l'ensemble de ses axiomes, de ses démonstrations, etc est récursif.

    L'ensemble de ses théorèmes est récursivement énumérable.

    On peut tout reformuler de la manière suivante, qui simplifiera les choses:
    Il existe (et c'est simple) un ensemble $A$ récursif (même récursif primitif) d'énoncés qui sont les axiomes de ZFC + les axiomes logiques

    Soit $P_n$ la suite (primitive récursive) de tous les énoncés clos avec constantes (une infinité) du langage de ZFC.

    On regarde l'arbre suivant:

    soit $W$ l'ensemble des couples $(P;Q)$ d'énoncés. $T$ est l'ensemble des suites finies $u$ d'éléments de $W$ telle que:



    1) $u_n$ est de la forme $(P_n;Q)$ ou $(nonP_n;Q)$

    1bis) on note $v,w$ les suites telles que $u_n=(v_n;w_n)$ pour chaque entier $n$.

    2) Si $u_n=(P_n;Q)$ et si $P_n=\forall xR(x)$ alors $Q$ est de la forme $R(a)$ pour une certaine constante $a$

    3) il n'existe pas d'entiers $(n,p)$ tels que $n\neq p$ et $u_p$ de la forme $(S;R(a))$ et $u_n$ de la forme $(nonR(a);Q)$

    4) Il n'existe aucun axiome $U\in A$ tel que $U\to non(v_1\wedge v_2...)$ soit aussi un axiome ie $\in A$

    Les branches de cet arbre donnent canoniquement des modèles de ZFC. En particulier, la branche la plus à gauche. Le complémentaire de $T$ est récursivement énumérable.

    Si tu le demandes, dans le post suivant, je te dis ce qu'on entend, pour un arbre, la branche la plus à gauche. Mais peut-être que tu peux le deviner seul.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci beaucoup de tes explications. Pour l'instant je comprends tous les mots, et même les phrases, mais j'ai du mal à "voir" les modèles de ZF (l'âge sans doute :-( ) ; je continue à réfléchir.
  • A vrai dire, personne ne parvient à voir des modèles de ZF :D

    D'une manière générale quand tu as un ensemble d'énoncés (avec constantes) qui est logiquement cohérent et complet (pour tout énoncé il le contient lui ou sa négation), pour récupérer le modèle, il te suffit de regarder les énoncés "atomiques" et des les regrouper en ensembles de uplets. Ce n'est rien d'autre que ça un modèle.

    Par exemple pour avoir la relation binaire qui réalise le $\in$ du langage, tu regardes les énoncés $a\in b$ qui sont déclarés vrais, ça te donne un ensemble $R$ de couples $(a,b)$ qui est la relation "appartient" dans ton modèle. Ca ne va pas plus loin
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • [...] pour récupérer le modèle, il te suffit de regarder les énoncés "atomiques" et des les regrouper en ensembles de uplets. Ce n'est rien d'autre que ça un modèle.

    [...] Ca ne va pas plus loin

    Les mathématiques sont la seule science dont l'unique objet est le discours qu'elles produisent.
  • bonjour gb,

    Les mathématiques sont la seule science dont l'unique objet est le discours qu'elles produisent.

    C'est une boutade ? Parce que sinon, ça me paraît absurde. Les maths sont une science de quelque chose (sans quoi ce ne serait que verbiage), et ce quelque chose est au fond d'une nature unique : il peut être pensé, mais ne peut être que pensé. Un discours par contre peut être vu, lu, écrit, etc.
  • message vide
  • Je sens poindre le platonicien.
  • Médiat> quelqu'un se pose une question analogue à la tienne ici. Je ne suis pas sûr que les réponses qui y sont apportées te satisferont ;)
  • Merci gb de cette citation: mais je pense qu'il y a une raison à ça.

    Je ne recopie pas tout une vieille page de mon site, mais je précise à quel endroit se trouve le point en rapport avec notre présent échange.

    Autocitation (désolé toto, mais j'avoue que tu as raison):
    Contrairement à une idée répandue, les mathématiciens NE TIENNENT PAS à leurs axiomes. C'est ce qui différencie les maths des autres sciences. Par ailleurs, les mathématiciens ne découvrent jamais rien qui concerne ce qu'on appelle habituellement la "réalité". Ce "boulot" est le job des physiciens

    Les maths ne s'occupent que de preuves irréfutables et sont donc obligées de s'occuper uniquement d'objets invariants par l'opérateur [x->illusion de x]. Ce qui en clair signifie que le doute solipsiste bien connu des philosophes, des physiciens et de tout scientifique qui n'a pas pété les plombs s'arrête là où commencent les maths. Ce doute consiste juste à dire: "peut-être sommes-nous (ou suis-je) victimes d'illusions. Peut-être rien de tout cela n'existe, que ces trucs que je vois sont des hallucinations".


    C'est un passage de la page:

    http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/gexis.php
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Donc ceux qui souhaiteraient "réfuter" l'énoncé de gb, ne devraient pas croire qu'il s'agit d'un choix phlosphique, mais d'un échec à faire autrement*: autrement dit, on aimerait bien qu'ils aient raison, mais hélas ils ne pourront qu'échouer à nous en convaincre.

    * C'est un prix à payer pour gagner le supplément de certitudes absolues offertes par les maths que ne peuvent apporter les autres sciences. Donc désolé Buffon, ton rêve est noble, mais inaccessible.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GG a écrit:
    Les maths sont une science de quelque chose (sans quoi ce ne serait que verbiage), et ce quelque chose est au fond d'une nature unique : il peut être pensé, mais ne peut être que pensé. Un discours par contre peut être vu, lu, écrit, etc.

    Oui, les mathématiques sont une science de quelque chose : une science du discours, c'est-à-dire de la communication des idées. Par contre ce discours est purement formel, et c'est ce qui fait le succès des mathématiques : chacun met ce qu'il veut dans ce discours: il suffit de remplacer le vocabulaire mathématique par d'autres mots et le tour est joué, dès que les énoncés des axiomes fait sens pour celui qui les utilise. Comme disait Hilbert, on peut remplacer « point », « droite », « plan » par « chaise », « table », « bière »...
  • gb> pour moi, la science qui étudie les discours formels s'appelle "logique mathématique" et ce n'est qu'une infime partie des mathématiques. Le reste s'occupe de nombres, d'espaces, etc., et ces objets ne sont pas des discours ou des éléments de discours. Mais ce n'est bien sûr qu'un avis personnel ..
  • à GG: en quantité de textes peut-être que la logique est "une infime partie" comme tu dis, mais tu ne distingue pas plusieurs étages (volontairement?)

    en "qualité", la logique est aux maths ce que les maths sont à la chimie par exemple, c'est à dire que les maths sont de la logique appliquée (par qualité, j'entends place déontologique)

    Par ailleurs, les objets étudiés n'ont rien à voir dans l'histoire (sur le plan déontologique), les maths ne peuvent sortir (au risque de ne plus être des maths) de l'obligation déontologique de les étudier "comme commande" la logique, c'est à dire avec un discours formel qui en parle comme si on n'en voyait pas "l'intérieur".

    C'est très important: sinon, on tombe dans la physique. Les maths établissent des vérités vraies dans tous les mondes, même les mondes les plus fantaisistes, qu'ils existent ou non. La physique étudie "notre monde" (qu'elle découvre d'ailleurs de plus en plus grand et "multiple", d'où son rapprochement dans le temps avec les maths).

    L'objet mathématique a le devoir d'être "égal" à son illusion en quelque sorte, ce qui limite la liste des théorèmes possibles.

    Donc oui, il y a des spécialités appliquées, mais non, elles ne "cachent pas" leurs hypothèses, et n'y tiennent pas en maths. Tous les théorèmes de toutes les branches des maths sont vrais dans tous les mondes possibles, en tant qu'énoncés complètement (ie avec tous leurs "si" devant le "alors"). Et à ce titre, tous les théorèmes de maths sont des théorèmes de logique (et plus précisément des tautologies)

    Le théorème de complétude rend d'ailleurs une position adverse intenable. S'il n'y avait pas de théorème de complétude, encore certains mathématiciens non logiciens pourraient-ils "rêver" qu'il existe des "vérités absolues" qui ne soient pas des tautologies, et espérer partir à leur recherche, mais "hélas" il y en a un qui clot le débat (ce qui n'est pas forcément une mauvaise nouvelle contrairement au ton que j'utilise d'ailleurs, à priori)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • excuse-moi cc, ne le prends surtout pas mal, mais je ne comprends pas grand-chose à ce que tu as écrit. Mais ce n'est pas grave, et ça n'implique pas qu'à d'autres occasions je ne puisse te comprendre et qu'on ne puisse dialoguer :)
  • GG écrivait:
    > Médiat> quelqu'un se pose une question analogue à la tienne ici. Je ne suis pas sûr que les réponses qui y sont apportées te satisferont ;)

    Merci du lien, en fait il est très utile : je me sens moins seul :D.

    Ceci dit, une fois acceptée l'idée que l'on ne peut pas écrire un dictionnaire dont chaque mot ne pourrait être défini qu'à l'aide des mots précédemment définis ("précédemment" faisant référence à un bon ordre) il est moins triste d'avoir le même problème ici.
  • :)-D à GG:

    j'essaie un "complément":

    Les maths prouvent des énoncés $A\to B$

    Les physiciens "posent que A est vrai, mais vraiment vrai dans notre monde" et disent "donc B"

    Les maths en restent à "A implique B"

    Contrairement à la physique, il n'y a jamais autre chose que de l'abréviation ou une convention purement "bibliothécaire"*** dans le fait qu'un texte de maths prétende établir apparemment un "B", alors qu'on sait prouver que $A\to B$.

    *** autrement dit, le "si A" omis est là, grace à une convention, même s'il n'est pas visible dans tel ou tel article de l'académie des sciences.

    Maintenant, je comprends que tu souhaites pointer (dans tes posts d'avant) que "sentimentalement" les mathématiciens qui étudient les coniques par exemple, les "voient" comme le physicien étudiant une explosion chimique entre 2 constituants et ressent la même "émotion". Mais pour "faire face" à ta déclaration, je me sentais devoir de signaler cet autre aspect (que je viens de raconter) des choses, d'autant qu'il contextue le pourquoi de la citation de gb.

    Et la raison est: on perd en certitude si on n'assume pas qu'on a supposé A. Et non pour le plaisir. Je veux dire, ce n'est pas pour le plaisir que les maths sont du verbiage formel. C'est un prix payé pour un absolu au niveau liste des certitudes établie par la science. S'il n'y avait pas ce truc en haut de la science (les maths), ça dériverait vite vers des concours de boules de crytale.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • message vide
  • Je veux dire, ce n'est pas pour le plaisir que les maths sont du verbiage formel.

    Si tu penses ça, pourquoi continues-tu à parler de maths ? Mais au fait, connais-tu le sens du mot "verbiage" ?
  • à Buffon: je ne crois que gb se soit déclaré non platonicien, mais qu'il a juste fait un clin d'oeil pour dire que ta réaction était elle hautement platonicienne.

    Nous sommes tous (je veux dire 100% des humains) platoniciens: les soit disant non platoniciens s'expriment juste mal. Ils veulent dire "je sais bien que je suis platonicien, parce que je n'arrive pas à faire autrement, mais j'aimerais bien avoir un cerveau inhumain qui me permette de concevoir ce que ça fait de ne pas l'être"

    à GG: à vrai dire, je pense que tu souhaites m'informer que je ne connais pas bien le sens du mot "berbiage" ce qui est possible (apparemment il a un côté péjoratif). Je voulais juste dire que les théorèmes de maths ont des preuves formelles et sont des "tautologies" (guillemets à cause du fait que utilise ce mot en général que pour le calcul propositionnelle)

    Quoiqu'on fasse avant dans le secret de l'intimité, le résultat est sans appel. Pas de preuve trouvée, pas de théorème. Il n'y a jamais débat sur ce point. Le reste appartient à la phère privée (en maths) alors que dans d'autres sciences, le côté "avant théorème" est beaucoup plus étalé sur la place publique.

    re à Buffon: ce qu'a dit gb, je l'ai expliqué. Ce n'est pas une idéologie posée là comme ça. C'est en cela que je te disais que ton rêve est inaccessible (ie de vouloir essayer de trouver dans les objets mathématiques un intérieur qui échapperait au formel, mais qui ait "droit de cité (orthographe?)" en termes déontologiques). Il est noble parce qu'on souhaite tous témoigner qu'on ressent comme si les objets étudiés avaient une certaine couleur, un certain gout.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • La rhétorique s'adresse à quel "demeuré" ?

    Décidément, c'est une manie chez toi, dès que tu viens dans un fil où nous intervenons tous 2, tu m'attribues une position vis à vis de toi qui serait que je te prendrais pour un demeuré. C'est la deuxième fois en 15jours.

    Tu peux m'expliquer?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gb a écrit:
    Oui, les mathématiques sont une science de quelque chose : une science du discours, c'est-à-dire de la communication des idées. Par contre ce discours est purement formel, et c'est ce qui fait le succès des mathématiques.


    Pourtant, un très grand sage a (presque : j'ai rajouté le "par essence") dit un jour :
    Les mathématiques ne sont pas formelles par essence, seulement formalisables.
    Maxime que j'ai faite mienne depuis.
  • cc> sphère privée, secret de l'intimité ... Tu ne te défausseras pas ainsi :) Tu n'as pas répondu à ma question, à mes deux questions en fait. Si je te demande si tu connais le sens de "verbiage", c'est pour savoir si tu connais le sens de "verbiage" ... et non pour te faire savoir Dieu sait quoi. Tu ne m'as pas répondu d'ailleurs. Alors j'ouvre le dictionnaire :

    - abondance de paroles et absence d'idées (Littré)
    - flot de paroles masquant la pauvreté de la pensée (Larousse)
    - profusion de mots de peu ou de contenu obscur (Webster)

    Tu vois cc, c'est toujours utile d'ouvrir un dictionnaire, chose qui ne doit pas souvent t'arriver et que je ne saurais trop te recommander, parce que pour moi, ça voulait dire : profusion de paroles sans contenu !
    Je te reformule donc ma question en termes encore plus directs :

    a) Penses-tu que les mathématiques sont un discours dont les mots, "ensembles", "nombres", "fonctions", etc. n'ont pas de contenu, ne se réfèrent à rien ?

    b) Si oui, pourquoi continues-tu à faire des mathématiques, quel sens ça peut bien avoir de parler de choses qui n'existent pas ?
  • GG écrivait:
    b) Si oui, pourquoi continues-tu à faire des mathématiques, quel sens ça peut bien avoir de parler de choses qui n'existent pas ?

    Je ne me permettrais pas de répondre à la place de Christophe, mais je peux répondre en mon nom à cette partie, et en particulier à la partie en gras : je m'en fous, du moment que j'en parle bien (ce n'est pas une forfanterie, cela veut juste dire qu'elle me donne satisfaction et des satisfactions) !

    Cette question est du même genre que d'autres quasiment sur le même modèle et, de mon point de vue, sans intérêt : "Quel sens la vie peut bien avoir si elle n'a pas signification" ou "la vie n'a pas de sens si rien ne subsiste après la mort" etc. etc.(arguments théologiques qui ne convainquent que les convaincus).
  • > Le barbu rasé
    Les mathématiques ne sont pas formelles, seulement formalisables.
    Il ne faut pas modifier les citations... les mathématiques ne sont pas formelles, en ce sens qu'on ne les écrit pas en se limitant aux symboles mathématiques, mais elles sont formalisables, c'est-à-dire que, consciemment ou non, le mathématicien sait qu'il pourrait entièrement formaliser son discours : il dispose d'un garde-fou qui l'empêche d'écrire n'importe quoi.

    > Buffon
    les structures ne servent à rien si ce n'est pas pour percer les secrets des formes et des nombres
    Qu'est-ce qu'une forme ? qu'est-ce qu'un nombre ?

    >GG
    Le reste s'occupe de nombres, d'espaces, etc., et ces objets ne sont pas des discours ou des éléments de discours.
    Ces objets sont introduits dans le discours par des éléments du discours que l'on a l'habitude d'appeler définitions, mais qui sont en fait des axiomes, et leur seul intérêt est de donner de nouvelles opportunités de discourir.
    Penses-tu que les mathématiques sont un discours dont les mots, "ensembles", "nombres", "fonctions", etc. n'ont pas de contenu, ne se réfèrent à rien ?
    Ce qui est magnfique, c'est qu'effectivement, pour moi, en tant que mathématicien, ces mots ont pour seul contenu un absconse énoncé formel, qu'ils ne désignent que des objets n'ont qu'une existence éphémère, la durée de mon discours, mais que, pour d'autres (physiciens, chimistes, économistes,...) , ils font référence à d'autres objets (les tables, chaises et bières de Hilbert), et permettent de produire d'autres discours.

    Je rejoins l'opinion de Médiat : l'important n'est pas que les choses dont on parle existent, c'est d'en parler correctement ; c'est ce que l'on appelle la rigueur du discours mathématique.
  • Je répons à (a) et (b) en même temps (et merci pour le dico de "verbiage", effectivement, je ne pensais pas ça)

    Pour moi les maths permettent d'avoir des certitudes. Alors tu vas répondre "sur quoi". Et bien à travers une passerelle non mathématique qui nous ramène au réel, sur tout un tas de choses, autant physiques que métaphysiques. Pour la partie métaphysique, le truc obtenu est modeste, mais pas nul. Pour la partie physique, ai-je besoin d'expliquer, tant c'est flagrant.

    Par contre la "passerelle" n'est pas aussi simple que dire bourrinement (ya des nombres, des ensembles, des objets géométriques, etc) d'autant que 99% des matheux dépassent de peu le stade "nombres"

    Ensuite, quelque soit la nature des choses qu'on croit traiter à l'aide de maths, il est en dehors des maths (en dehors de leur pouvoir, je veux dire) la façon dont la passerelle et ces choses sont faites. Je suis rentré dans l'échange pour préciser un point de déontologie sur la souveraineté des preuves, pas tellement pour nier que ces objets "ce quelque chose" que les maths seraient "science qui l'étudie" comme tu as écrit soient réels. Je ne dis pas qu'ils sont irréels, je dis que "tout se passe" dans l'arbitrage comme s'ils n'étaient que leurs noms (ceux qu'on leur donne); d'une part, et que c'est incontournable à cause du degré de certitude qu'on souhaite avoir à leur propos.

    Pour faire un parallèle avec la physique, les théorèmes de maths sont "fasibiables" dans le sens justement qu'ils sont infaillibles, mais qu'on peut les tester, mais fasifiables d'une manière intéressante, puisqu'ils prédisent des illusions sûres, ce qui est encore plus fort que prédire du réel en tremblant, mais en croyant s'appuyer sur la confiance qu'on lui porte (qu'on porte en la nature) à travers des souvenirs et une nostalgie empiriques qui ressemblent à des prières qu'elle continue comme elle a commencé, plutôt que nous offrir des surprises inconfortables.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gb a écrit:
    Il ne faut pas modifier les citations... les mathématiques ne sont pas formelles, en ce sens qu'on ne les écrit pas en se limitant aux symboles mathématiques, mais elles sont formalisables, c'est-à-dire que, consciemment ou non, le mathématicien sait qu'il pourrait entièrement formaliser son discours : il dispose d'un garde-fou qui l'empêche d'écrire n'importe quoi.

    Alors si je dis que le discours est totalement formalisable, et que cela fait partie de ce qui fait le succès des mathématiques, mais peut ne pas être purement formel, et que cela fait aussi partie de ce qui fait le succès des mathématiques, serons-nous d'accord ?

    Par ailleurs, si je dis que les idées, celles-là même dont la communication fait le discours mathématique, ne sont pas formelles par essence, serons-nous d'accord ?
  • Le barbu rasé a écrit:
    serons-nous d'accord ?

    Oui, je suis d'accord sur les deux assertions.
  • C'est quoi un modèle de ZFC bah c'est ton cerveau lol

    http://www.pps.jussieu.fr/~krivine/articles/mathpro2.pdf

    Sans jamais rien comprendre je pense que ce texte me poursuivra toute ma vie
    Amicalement

    [Ne peux-tu écrire tes mots en entier ? Merci. AD]
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