petit problème

hilton

Bonjour à tous , voilà j'ai un souci avec ce problème

Dans tout le problème, n et k sont des entiers tq n>= 1 et 0 =< k =< n
On rappelle que Cn,k=....
Partie A : On note phi n,k la fonction définie sur [0,1] par :

(phi n,k)(x)=(Cn,k ). (x^k) . (1-x)^(n-k)

1) expliciter les quatre fonctions (phi 3,k) pour k=0,1,2,3
2) vérifier que si k>= 1 alors (k/n)Cn,k = C n-1, k-1
3) calculer successivement les sommes :
somme de k=0..n (phi n,k)(x)
somme de k=0..n ((k/n)((phi n,k)(x)))
somme de k=0..n ((k^2)/(n^2))(phi n,k)(x))
4) déduire de la question précédente la valeur de somme de k=0..n ((k-nx)^2)((phi n,k)(x))

==> pour les 2 premières c'est bon
==> pour la 3)on trouve 1 à la première comme avec le binôme de Newton mais après si vous pouviez m'aider pour les deux autres car il y a trois parties dans ce problème ; les deux autres c'est bon mais j'ai du mal avec les sommes

Merci d'avance
bonne aprem


AD : vous pouvez supprimé l'autre topic merci
[C'est fait, mais de grâce, tutoyons-nous sur le forum AD]

gerard0

Bonsoir Hilton.

Si j'ai bien compris, il suffit de factoriser le $\frac 1 n $ (ou $\frac 1 {n^2^} $ puis d'utiliser la dérivée de la somme précédente (dériver l'égalité résultat). Attention, la dérivée de $x^0$ est 0.

Cordialement

hilton

:S mais encore??

gerard0

Bonsoir

Oui, tu as raison, c'est plus compliqué (j'ai oublié le rôle des $(1-x)^k$).
Pour la première, $\frac k n C_n^k = C_{n-1}^{k-1}$ et on doit pouvoir factoriser x (vérifie)

Pour la deuxième, je ne vois pas de méthode simple. Par contre, la méthode par dérivation, en laissant de côté momentanément les termes pour k=0 et k=n (pour éviter des exposants -1 erronés) puis en multipliant/divisant par x ou 1-x marche effectivement, à condition de séparer les dérivées en deux sommes (les dérivées de $x^k$ multipliées par les $(1-x)^{n-k}$ d'un côté, les dérivées des $(1-x)^{n-k}$ multipliées par les $x^k$ ) :
On part de $(1-x)^n + \sum_{k=1}^{n-1}{C_n^k x^k (1-x)^{n-k}} + x^n = 1$
On dérive :
$n (1-x)^{n-1} + \sum_{k=1}^{n-1}{k C_n^k x^{k-1} (1-x)^{n-k}} + \sum_{k=1}^{n-1}{(n-k)C_n^k x^k (1-x)^{n-k-1}} + n x^{n-1} = 0$
Puis, pour x différent de 0 et 1 (On reverra ces cas à la fin) :
$\frac 1 x \sum_{k=1}^{n-1}{k C_n^k x^k (1-x)^{n-k}} + \frac 1 {1-x} \sum_{k=1}^{n-1}{(n-k)C_n^k x^k (1-x)^{n-k}} = -(n (1-x)^{n-1} + n x^{n-1})$
La première somme est presque ce qu'on veut (Il suffit de rajouter les termes extrêmes), et en développant le n-k de la deuxième somme, on la fait réapparaître (la somme restante est facile). On obtient la somme voulue multipliée par une fraction rationnelle en x.

Je te laisse voir ce calcul et essayer de l'adapter en dérivant à nouveau la formule obtenue.

Bon courage !