Justification géométrique

Suite à une question posée il y a quelques temps, Pappus m'a donnée une solution et j'essaye de démontrer la propriété :

Soit $\left ( P_0 P_1 \right )$ et $\left ( P_2 P_1 \right )$ deux droites distinctes du plan affine. Soit $\gamma$ la parabole passant par $P_0$ et $P_2$ et ayant comme tangentes les droites $\left ( P_0 P_1 \right )$ et $\left ( P_2 P_1 \right )$.

Soit $E$ l'intersection entre la symédiane (symétrique de la médiane par rapport à la bissectrice intérieure) issue de $P_1$ dans le triangle $P_0 P_1 P_2$ et le cercle circonscrit au triangle $P_0 P_1 P_2$.

Alors, le foyer $F$ de la parabole est le milieu du segment $\left [P_1 E \right]$.

Le fait que $F$ soit sur le symédiane provient du deuxième théorème de Poncelet. Je sèche sur la démonstration géométrique de la propriété "$F$ est le milieu du segment $\left [P_1 E \right]$".

Merci d'avance à toute personne qui me donnera une solution.

Lionel

Réponses

  • Mon cher Lionel
    Voici quelques pistes mais il peut y en avoir d'autres!
    1° Il y a deux théorèmes de Poncelet, relatifs aux tangentes issues d'un point à une conique, l'un monofocal et l'autre bifocal.
    2° Le foyer $F$ est le centre de la similitude directe $s$ telle que:
    $s(P_0) = P_1$ et $s(P_1) = P_2$.
    Amicalement
    Pappus
  • Voici par exemple une solution par les complexes en utilisant la propriété n°2, (il y en a d'autres!).
    On identifie le plan au plan complexe au moyen d'un repère orthonormé d'origine $F$.
    La propriété n°2 s'écrit alors:
    $\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{p_1}{p_0}$ ou encore $p_1^2 = p_0.p_2$
    Ce qui est la relation de Newton d'une division harmonique.
    Amicalement
    Pappus
  • Merci beaucoup pour la solution. Le fait de raccrocher le point $E$ est subtil, j'avais essayé de le faire intervenir dans la similitude B-)-

    Lionel
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