algèbres

C. de Pluquaire

Bonsoir, citoyennes et citoyens,
Soit E une algèbre (associative) réelle ou complexe.
On dit que f de E* (dual) est multiplicative si f(x.y) = f(x).f(y) (et f(e) = 1 si E est unitaire).
Soit M* l'ensemble des formes linéaires multiplicatives.
Je dirai que:
E est séparante si pour tout x non nul de E il existe g de M* telle que g(x) est non nul.
Il existe en abondance des algèbres séparantes. Mais je crains que l'algèbre des matrices 2x2 ne le soit pas (pas sûr).
Le problème que je me pose est le suivant: peut-on trouver une "caractérisation", efficace et élégante, bien sûr, des algèbres qui sont séparantes?
Les commutatives le sont-elles toutes ?
Pouvez-vous apporter une aide?
Merci d'avance.
Bien cordialement.

Bu

A partir du moment où tu as des éléments nilpotents dans ton algèbre (qu'elle soit commutative ou non), elle ne peut pas être "séparante".
Ton $M^*$ n'est-il pas l'ensemble des homomorphisme de $k$-algèbres de $E$ dans $k$?

tintin1

Si tu es sur une algèbre de dimension finie sur un corps algébriquement clos alors effectivement la condition nécessaire et suffisante et de ne pas posséder d'éléments nilpotents sinon c'est plus compliqué (considérer $\mathbb{C}$ comme algèbre sur $\mathbb{R}$)

C. de Pluquaire

Bonjour,
Bu et tintin, je vous remercie pour vos réponses qui règlent complètement mon problème avec les algèbres.
Bien amicalement.
B. L.