percolation des nombres premiers

dans Arithmétique
Bonjour à tous et bonne rentrée pour ceux concernés.
Quelqu'un peut-il me dire s'il a été montré (et si cela est simple ou compliqué pour y parvenir) que pour tout entier k > 1 il existe deux nombres premiers p et q vérifiant q < k² < p, et, plus précisément, (k-1)k < q < k² < p < k(k+1), et si l'on sait majorer sur cet intervalle [k(k-1), k(k+1)] la différence de deux premier consécutifs par exemple p-q < k+4 (comme on peut l'observer pour les premiers k) ?
Dès lors on démontrerait si cela n'est déjà fait qu'il existe un nombre premier p dans chacun des intervalles [lk,(l+1)k] pour l variant de 1 à k. Mais cette "percolation" va souvent nettement plus loin que l=k (voir pour les puissances de 2. Cela doit certainement avoir été l'objet d'études, mais où ?
Merci de vos lumières.
Euzenius
Quelqu'un peut-il me dire s'il a été montré (et si cela est simple ou compliqué pour y parvenir) que pour tout entier k > 1 il existe deux nombres premiers p et q vérifiant q < k² < p, et, plus précisément, (k-1)k < q < k² < p < k(k+1), et si l'on sait majorer sur cet intervalle [k(k-1), k(k+1)] la différence de deux premier consécutifs par exemple p-q < k+4 (comme on peut l'observer pour les premiers k) ?
Dès lors on démontrerait si cela n'est déjà fait qu'il existe un nombre premier p dans chacun des intervalles [lk,(l+1)k] pour l variant de 1 à k. Mais cette "percolation" va souvent nettement plus loin que l=k (voir pour les puissances de 2. Cela doit certainement avoir été l'objet d'études, mais où ?
Merci de vos lumières.
Euzenius
Réponses
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Bonsoir,
Vous aurez bien sûr immédiatement vu le lien avec la conjecture de Legendre, et comme pour Legendre cela reste une conjecture, forcément ce que j'ai indiqué l'est encore plus à moins qu'il n'y ait là un contre-exemple (ce que je n'ai pas encore trouvé ne disposant pas des puissances de calcul ad hoc pour le moment).
Petit exo : soit n un entier naturel il existe alors deux entiers naturels p <= q tels que n = pq et p+q et q-p minimaux.
Bonne soirée...
Euzenius -
Bonjour,
La conjecture de Legendre peut-elle se fortifier de la manière suivante ?
Pour tout entier naturel k>1
1) il existe deux nombres premiers p et q tels que
k(k-1)<p<k²<q<k(k+1)
et q-p<k+4
2) il existe deux nombres premiers p' et q' tels que
k²<p'<k(k+1)<q'<(k+1)²
et q'-p'<k+4
Autrement dit, vue la complexité d'une démonstration, existe-t'il un contre-exemple accessible à un "rapide" entendement ?
Euzenius -
Bonjour,
Evidemment avec la conjecture encore plus forte qui dit qu'il existe au moins "racine de k " nombres premiers entre k² et (k+1)², en avoir 1 (Legendre) ou 2 (Legendre forte) apparaît bien mesquin (mais il faudrait rajouter condition de la différence de deux premiers consécutifs <k+4 pour que cela soit plus tiptop). Tout cela reste cependant des conjectures, même Legendre sans la condition de majoration...
Euzenius -
Percolation suite...
Si l'on prend k impair k =2n+1 >4 peut-on fortifier la conjecture en :
Il existe toujours un nombre premier dans les intervalles
]4n², 4n²+n[
]4n²+n,4n²+2n[
]4n²+2n, (2n+1)²[
](2n+1)², (2n+1)(2n+2)[
](2n+1)(2n+2),(2n+2)²[
(et l'écart entre deux nombres premiers consécutifs dans ]4n²,4(n+1)²[ est inférieur à K(n) a priori 2n+5 ?) ? (on a juste coupé en deux ]4n², 2n (2n+1)[ pour le moment très arbitrairement au vu de la singularité des premiers entiers)
En fait l'idée (juste une idée en l'air) de cette "percolation" est de définir une propriété de "percolation" vérifiée par des sous ensembles de l'ensemble des entiers naturels, et bien sûr que celui des nombres premiers >4 serait le plus petit de ces ensembles.
Par exemple :
Pour tout n>1 , il existe un élément d'un tel sous-ensemble dans chacun des intervalles
]2n,4n[ ; ]4n,6n[,....., ]4n², 4n²+n[ ; ]4n²+n, 4n²+2n[ : et
[2n+1, 4n+2[;.......;](2n+1)2n,(2n+1)²[ ; ](2n+1)²,(2n+1)(2n+2)[
(attention 2n+1 est dedans, crochet ad hoc)
Mais bon c'est peut-être sans intérêt, un crible d'Eratosthène amélioré ?
Bonne réflexion
Euzenius -
Bonsoir,
La fortification n'est pas bonne comme on le voit pour n=7
]196,203[ contient les nombres premiers 197 et 199
]203,210[ n'en contient aucun
Donc impossible de partager les intervalles de cette manière à ce stade. Il me faudra donc repasser pour envisager l'ensemble des nombres premiers comme le bon café de cette sorte de cafetière (sauf à retomber dans le crible d'Eratosthène...)
Par ailleurs, j'ignore pour le moment si la condition q-p < k+4 est compatible avec la conjecture de Cramer. Cette condition "conjecturelle" induit la percolation (cela se démontre assez simplement), mais il est tout à fait possible que la percolation (qui prolonge le postulat de Bertrand alias le théorème de Tchebychev) ait lieu sans cette condition, tout comme cela puisse se révéler être faux...
Euzenius -
Bonjour,
Si la condition q-p < k+4 (ou 2n+5 selon les formulations précédentes) me semble intenable asymptotiquement parlant vu la conjecture d'Herald Cramer, les assertions suivantes :
1) (conjecture de Legendre forte - rappel de ce qui figure dans les posts ci-dessus) pour tout n>0 il existe un nombre premier dans chacun des intervalles :
](2n)², 2n(2n+1)[, ]2n(2n+1),(2n+1)²[, ](2n+1)², (2n+1)(2n+2[ et ](2n+1)(2n+2),(2n+2)²[
2) (conjecture de legendre conjointe) pour tout n>1 il existe un nombre premier dans chacun des intervalles :
]4n²-n, 4n²+n[, ]4n²+n, 4n²+3n[, ]4n²+3n,4(n+1)²-3(n+1)[ et ]4(n+1)²-3(n+1), 4(n+1)²-(n+1)[
Ainsi pour n=2
]16,20[ contient 17 et 19
]20,25[ contient 23
]25,30[ contient 29
]30,36( contient 31
]14,18[ contient 17
]18,22[ contient 19
]22, 27[ contient 23
]27,33[ contient 29 et 31
Tant que cela est vérifié, cela n'entraine t-il pas la percolation jusqu'à un rang ad hoc ? Subsidiairement peut-on en extraire une caractérisation en terme de plus petit ensemble vérifiant une propriété ad hoc de l'ensemble des nombres premiers ?
Avant tout essai de vérification avancée, quelqu'un a-t'il dans ses tablettes un contre-exemple ou la référence d'un fil ou site y répondant déjà ?
Merci de votre aimable attention et de votre possible concours.
Euzenius -
Bonsoir,
Hormis le cas n=5 pour lequel l'intervalle ]115,126[ ne contient pas de nombre premier (désolé j'ai été un peu vite dans mon précédent post), y a-t-il d'autres remarques à formuler ?
Euzenius -
Bonjour,
On peut aussi examiner comment se distribuent les nombres premiers et la différence des premiers consécutifs dans les intervalles de largeur k
]4k²-5k, 4k²-4k[ ; ]4k²-4k , 4k²-3k[ .... ]4k²+4k, 4k²+5k|
pour tout k >1.
Pour quel k, n'y a-t'il aucun nombre premier dans l'intervalle ]4k², 4k²+k[ ?
Euzenius -
bonjour
je pense que tu n'en a pas trouvé(:P)
1)ils doivent se compter sur les doigts de la main...
2) k ne doit pas être très grand.
3) ils sont en nombre finis si il y en a.
4)il faut que 4k² tombe au bon endroit.
5) mon tout est qu'il n'y en à pas:)o -
Bonsoir Leg,
Effectivement je n'en ai pas trouvé, mais ne suis pas allé bien loin (k=31). Je posais la question au cas où (inutile de faire tourner des ordinateurs si l'on a quelque part une réponse significative permettant de savoir si la question a un intérêt ou non), dans le cadre à la fois de la conjecture de Legendre (il faut alors aussi s'intéresser aux intervalles ]4k²-k, 4k²[ mais là avec k>3 trivialement) que des premiers "proches" de la forme 4k²+1 (là j'ai admirablement montré que 4k²+1 se trouvait bien dans l'intervalle ]4k²,4k²+k[, c'est au moins ça !:)).
Je vais donc regarder cela tranquillement... en me remettant à la programmation.
Euzenius -
Bonjour,
Sloane A053000 permet de voir que le premier nombre premier qui suit un carré est proportionnellement très proche de ce carré pour les premiers entiers (11<n<10000, différence en tout cas <n/2). Selon une autre source il semble que pour n pair < 5 000 000 cela soit toujours le cas. Je n'ai pas trouvé de liste équivalente (différence de n² et du plus grand nombre premier le précédant) qui permette d'aller aussi loin. Si cela était vrai la conjecture de Legendre le serait aussi et cela renforcerait l'attraction des carrés vis à vis des nombres premiers (voir aussi la conjecture "il existe une infinité de nombres premiers de la forme n²+1").
Euzenius -
bonjour Euzenius
je doute fort qu'après K = 1000 on en trouve un; car actuellement quel est le plus grand écart entre deux premiers consécutif, je pense qu'il est <1000 -
Merci Leg,
Malheureusement je ne suis pas encore un expert de la distribution des nombres premiers à l'infini malgré les nombreux théorèmes et de vraisemblables conjectures à ce niveau (vraies si HR vraie). C'est une lacune que je vais m'employer à combler mais le rapport des nombres premiers aux carrés m'apparaît quelque chose d'essentiel entre densité des carrés (somme des inverses convergente) et théorème de Lagrange (ou mieux, Dickson :n=a²+2b²+4c² pour tout impair n et un certain nombre de pairs).
Les intervalles ]4k²+k,4k²+2k[, ]4k²+2k,4k²+3k[, ]4k²+4k+1,4k²+5k+2[ et ]4k²+5k+2,4k²+6k+3[ seraient alors les seuls dans lesquels on pourrait à l'infini ne pas trouver systématiquement de nombres premiers.
Euzenius -
le problème, c'est que cela créer des suites de composés en progression arithmétique.
un exemple,(voir aussi la conjecture "il existe une infinité de nombres premiers de la forme n²+1").
si je prend aussi n²-2, donc n impair et que cette conjecture est fausse cela voudrait dire que la densité des nombres premiers p=17[30] est inférieur aux autres familles P modulo 30 soit 7,11,13,19,23,29, et 31 et ça c'est impossible.
car si on prend ces deux suites "n²+1" et n²-2" cela produit deux suites en progression arithmétiques dans l'ensemble des entiers P[30] P de 1 à 29 {2,3,5}
voila ce que cela donne par exemple dans la famille des entiers 17[30].
1er cas, avec n²+1:
7.197.257.677.1157.1937.2117.3137.4097....etc
197-7=6*30..........puis ((6+k20) * 30)
257-197=2*30......puis ((2+k4) * 30)
677-257=14*30.....puis ((14+k20) * 30)
1157-677=16*30....puis ((16 +k16) *30)
1937 - 1157 = 26*30
2117-1937 = 6*30
3137 - 2117 = 34*30
4097 - 3137 = 32*30
ce qui donne pour le prochain
4097+ (46*30) = 5477
etc..
pour la suite n²-2 ("qui est une suite équivalente et dont le total des valeur a rajouter ferra aussi 6020+4+20+16) on aura (12+8+12+28)"):
47.167.287.527.1367.1847.2207.2807.4487....etc
167 - 47 = 4*30...puis (4 + k12) *30
287 - 167 = 4*30....puis (4 + k8) *30
527 - 287 = 8*30.....puis (8 + k12) *30
1367 - 527 = 28 *30.....puis (28 + k28) *30
1367 + (16*30) = 1847
1847 + (12*30) = 2207
2207 + (20*30) = 2807
2807 + (56*30) = 4487
....etc
cela nous donne la réflexion suivante: si dans n'importe quelle famille P[30], on peut organiser les suites de nombres composés alors il est facile d'organiser et de ne garder, que les suites en progression arithmétique de nombres premiers(:P)
de plus si cette conjecture est fausse alors la densité des premiers 17[30] par rapport aux 7 autres familles est fausse....:S, surtout dans le premier cas, car aucun nombre p[30] pour p = 13.23.19.29 n'est pris en compte dans ces suites
(si tu es intéressé par mon algorithme P[30] afin d'extraire les premiers dans l'ordre croissant par famille, je pourrai te le faire parvenir.) -
Euzenius écrivait:
Les intervalles ]4k²+k,4k²+2k[, ]4k²+2k,4k²+3k[,
> ]4k²+4k+1,4k²+5k+2[ et ]4k²+5k+2,4k²+6k+3[
> seraient alors les seuls dans lesquels on pourrait
> à l'infini ne pas trouver systématiquement de
> nombres premiers.
]4k²+k,4k²+2k[,je pense que dans cet intervalles il y a une infinité de premiers puisque l'intervalle augmente 2.4.6......et tend vers l'infini....etc. ou alors je loupe quelque chose...:)o -
Attention Leg.
Il y a des intervalles de taille aussi longue que l'on veut sans un seul nombre premier.
Cordialement -
ok gerard0,
mais l'intervalle de la suite ci dessus est en augmentation de raison 2; mais surtout si on part du principe qu'actuellement l'écart entre deux premiers consécutif est < 1000 entiers consécutifs sans premier,
si je prend par conséquent un intervalle de taille 1200 je suis sur de trouver un premier
ou alors on ne parle pas de la même taille des intervalles I?
Pour moi (4k²+2k) - (4k²+1k) = I = 2, pour K = 1
Mais ce qui est curieux c'est que la suite généré par (4k²+1k) ne contient aucun nombres premiers il ne pourrait y en avoir que de deux sortes; les nombres des familles 23[30] et 29[30] "en progression arithmétique, k*30"
[Inutile de répéter le message précédent. AD] -
Bonsoir Leg,
Je ne comprends pas où se trouverait la progression arithmétique sauf très localement autour des carrés, si bien que l'argument de distribution équirépartie selon certaines valeurs modulo 30, ne m'apparaît guère pertinente ici car rien ne dit qu'il ne soit pas vérifié ou alors je n'ai rien compris à ton exposé.
Il est impossible qu'il y ait des nombres premiers dans tous les intervalles de largeur k (ou k+1) entre 4k² et 4(k+1)² lorsque k devient suffisamment grand (si j'ai bien compris divers résultats sur les NP) . Il semble qu'il y en ait toujours dans ceux encadrant les carrés, mais cela demande en effet d'être confirmé (ce qui dépasse mes capacités mathématiques actuelles), et si c'est le cas ce sont donc les autres intervalles qui se prennent les contraintes.
On aura peut-être le plaisir d'un regard plus éclairé et mieux documenté que le mien sur cette question adossée à la conjecture de Legendre.
Euzenius -
Euzenius écrivait:
> Bonsoir Leg,
>
> Je ne comprends pas où se trouverait la
> progression arithmétique sauf très localement
> autour des carrés, si bien que l'argument de
> distribution équirépartie selon certaines valeurs
> modulo 30, ne m'apparaît guère pertinente ici car
> rien ne dit qu'il ne soit pas vérifié ou alors je
> n'ai rien compris à ton exposé.
>
lorsque tu prends la suite générée par 4k²+1 :
soit 5,17.37.65.101.145.197.257.325.401.485.577.677.785.901.1025.1157.....etc
cette suite génère 4suites en progression arithmétique dans la famille 17[30] entre autre et facile à contrôler .
pour cela tu extrais les entiers 17[30] de cette suite 4k²+1 puis tu cherches la raison modulo 30
ce qui va te donner une suite:
197.257.677.1157.1937.2117.3137.4197..
puis il ne te reste plus qu'à soustraire chaque nombre consécutif et diviser par 30 ce résultat ce qui va te faire apparaître les 4 progressions.
17-197,257-197, 677- 257, 1157- 677,
6*30; 2*30 ; 14*30 ; 16*30, puis 6+20 *30 ;2+4 *30 , 14+20 * 30 , 16+16 *30.
soit k20, k4, k20, k16 .
je te joint le fichier exel, ta suite se trouve colonne i
la colonne A pour les entiers 23[30] concerne la suite colonne E = 4k² + k
-
Bonjour Leg.
On ne doit pas parler de la même chose :Leg a écrit:si on part du principe qu'actuellement l'écart entre deux premiers consécutif est < 1000 entiers consécutifs sans premier,
si je prend par conséquent un intervalle de taille 1200 je suis sur de trouver un premier
Dans l'intervalle [1300!+2; 1300!+1300] il n'y a pas de premier.
Mais sans doute ne te comprends-je pas.
Cordialement -
OK leg,
Je suis allé examiner ta feuille excel (merci au passage pour ton intérêt) pour essayer de comprendre mais je crois que nous ne sommes pas tout à fait sur la même longueur d'onde. Certes les nombres premiers impairs sont nécessairement congrus à 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 modulo 30 et tu me proposes d'examiner pour exemple ceux congrus à 17 parmi les impairs de la forme n²+1, parmi lesquels on pourrait extraire 4 suites arithmétiques (qui témoignent en fait de l'accroissement de la suite initiale n²+1). Soit ! Mais je ne comprends toujours pas le lien avec l'existence ou non de nombres premiers dans les intervalles que j'ai identifiés.
Pour k = 18
]4k²-k,4k²[ = ]1278,1296[ et contient les premiers 1279, 1283, 1289 et 1291 congrus respectivement à 19, 23, 29 et 1 modulo 30
]4k², 4k²+k[ = ]1296,1314[ contient 1297, 1301, 1303, 1307 congrus à 7, 11, 13, 17
]4k²+k, 4k²+2k[ = ]1314, 1332[ contient 1319, 1321, 1327 congrus à 29, 1, 7
]4k²+2k, 4k²+3k[ = ]1332, 1350[ n'en contient aucun
]4k²+3k, 4k²+4k+1[ = ]1350, 1369[ contient 1361 et 1367 congrus à 11 et 17
]4k²+4k+1, 4k²+5k+1[ = ]1369, 1387[ contient 1373 et 1381 congrus à 23 et 1
]4k²+5k+1, 4k²+6k+2[ = ]1387, 1406[ contient 1399 congru à 19
]4k²+6k+2, 4k²+7k+3[ = ]1406, 1425[ contient 1409 et 1423 congrus à 29 et 13
Etc... (on peut remplacer la borne 4k²+4k+1 = (2k+1)² par 4k²+4k cela ne change pas fondamentalement le résultat sur l'existence ou non de NP dans ces intervalles).
L'équirépartition est quasiment vérifiée bien qu'un de ces intervalles ne contienne pas de nombre premier.
Quand je souligne le fait que n²+1 se trouve dans des intervalles contenant a priori toujours des nombres premiers, c'est pour attirer l'attention sur la singularité de cette répartition au regard de la conjecture de Legendre. Tu mets en lumière le cas n²-2 et il est sans doute intéressant de se poser en effet la question d'une infinité de nombres premiers de cette forme (n est alors impair), mais cela a dû être déjà fait.
J'espère que tu comprendra mieux mon propos.
Euzenius -
Re-bonsoir
Pour la conjecture sur l'infinité de nombres premiers de la forme n²-2 (n impair), Sloane A028870 et A028871 (et en prime correction à la fin de mon post précédent :"comprendra" avec un s comme "comprendras" c'est mieux...)
Euzenius -
bonjour G et E
gerard0 :
effectivement on ne parle pas de la même taille d'un intervalle, pour moi la taille d'un intervalles c'était par ex 1000 entiers consécutifs ce qui nous donne 1000/3.75 = 266 entiers modulo 30 consécutifs et obligatoirement il y aura un nombre premier > 5.
exemple pour K =1000 et dans l'intervalle4K²-K et 4K²:
4 000 000 -1000 = 3 999 000
dans l'intervalle
3 999 000 et 4 000 000 il y a 266 entiers P[30] dont 63: nombres premiers
Quantité par famille P[30] , le premier et le dernier dans l’intervalle considéré :
8 P = 1[30] ; 3999001→ 3999901
8 P = 7[30] ; 3999067 → 3999727
9 P = 11[30] ; 3999161 → 3999971
5 P = 13[30] ; 3999283 → 3999763
5 P = 17[30] ; 3999467 → 3999917
7 P = 19[30] ; 3999109 → 3999949
12 P =23[30] ; 3999053 → 3999923
9 P = 29[30] ; 3999209 → 3999929
dans cet intervalle :]4k²+2k, 4k²+3k[ = ]1332, 1350[ n'en contient aucun .
effectivement Euzenius l'intervalle à une taille de 28 soit 28/3.75 = 7 entiers consécutif modulo 30 il y a une infinité d'intervalles de petite taille sans aucun premier cela dépendra du choix de k, soit il tombe bien ou pas . mais si on agrandi la taille de cet intervalle comme l'exemple ci dessus, je doute fort qu'il n'y ait de nombre premier.
et en exemple:
si je prend K = 17 donc un intervalle plus petit pour l'intervalle compris entre
4k² +2k et 4k² +3k
soit taille de l'intervalle = 27, au lieu de 28 dans ton exemple ce qui donne 7 entiers consécutifs modulo 30
j' ai entre 1180 et 1207; 4 premiers: 1181.1187.1193.1201 -
est ce que tu as vu pourquoi ta suite colonne E = 4k² + k ne contient aucun nombre premier, tu devrais le comprendre en regardant la factorisation des entiers possibles premiers, 23 ou 29 modulo30
j'ai fais la factorisation des entiers 23[30] colonne G -
Pour en revenir à la valeur des deux factorielles 1300, de gerard0 comment a-t-on contrôlé l'absence de premier entre ces deux valeurs ? Car cela fait quand même 1298 entiers consécutifs à la suite de 1300!+2 = 3159519021916357....000000002 soit 3 486 chiffres ???
-
Bonjour Leg
Ces 1298 entiers sont respectivement multiples de 2, 3, ... , 1300
Alain -
1299, Alain !
-D
-
Bonjour,
Mouais, 4k²+k n'est pas premier car il se factorise en (4k+1)k ce qui, dans le cas ici supposé de k>1, donne des facteurs propres (c'est à dire différents de 1 et du nombre en question). C'est d'ailleurs le pourquoi du choix des bornes des intervalles proposés comme cela les nombres premiers sont, s'il existent, dans l'intervalle ouvert (mais on peut mettre des intervalles fermés ou semi-ouverts ou semi-fermés si l'on préfère).
Leg, je ne comprends toujours pas ton argument sur P[30] et l'obligation d'avoir des nombres premiers dans tel ou tel intervalle assez grand, mais peut-être me manque t'il une case voire une colonne de cases.
Euzenius -
effectivement , et d 'après ce qui est dit par AD, gerard0..et toi même; il y a surement une erreur de mon côté; car il me suffirait de prendre l'entier correspondant à la factorielle de gerard0 lui rajouter 1000 pour me contredire(:P)
-
Bonsoir,
Pour faire plaisir à Leg je lui suggère d'examiner les premiers impairs de la forme n²+2 en allant voir Sloane A056899 (dont voici les premiers exemplaires).
3, 11, 83, 227, 443, 1091, 1523, 2027, 3251, 6563, 9803, 11027, 12323, 13691, 15131, 21611, 29243, 47963, 50627, 56171, 59051, 62003, 65027, 74531, 88211, 91811, 95483, 103043, 119027, 123203, 131771, 136163, 140627, 149771, 173891,...
On nous fait remarquer que, à partir de 11, ils sont tous congrus à 11 modulo 72 et que (p-11)/72 est un nombre triangulaire.
11 = 3²+2 = (6x0+3)²+2
83 = (6x1+3)²+2
227 = (6x2+3)²+2
443 = (6x3+3)²+2
et (6k+3)² +2 = 36k²+36k+11 = 72k(k+1)/2 + 11
n est donc toujours un multiple impair de 3, pourquoi ?
Euzenius -
bonjour
j'avais déjà contrôlé cette suite avec mon algorithme, afin de regarder les premiers pris en compte par cette suite.
il manque les 4 familles 7.13.19.29.31 mod 30; dont les 4classes 6k+1 et une classe 6k-1
ce que l'on remarque aussi dans les premiers P de cette suite pour la famille:
23[30] ils sont congrus 2[9] ; il manque les premiers 5 et 8 modulo 9 des trois familles prisent en compte par cette suite
17[30] " " =2[9] ....
11[30] " " =2[9]....
n est donc toujours un multiple impair de 3, pourquoi ?
Euzénius, je pense que cela provient de la construction de l'algorithme P[30] c'est à dire de l'Ensemble des entiers P[30]
et du triplet Pythagoricien x = 3, y = 4. et z = 5 avec k entier naturel positif
ce qui va donner pour les x = p² - q² est le facteur k , et où p =2 et q =1
3.6.9 .12. 15. 18. 21. 24. 27. 30 ......etc
soit x² + 2 ou (k(p² - q²))² + 2, pour les entiers premiers P congrus 11.17.23[30] et 2[9]...
voila pourquoi l'ensemble des entiers p[30] ne contient aucun 3m et 5m
tous les entiers qui ne sont pas pris en compte par le tiplet Pythagoricien 3.4.5 et ses multiples, sont des nombres pairs 2p[60] ou les impairs p[30];
pour p = 1.7.11.13.17.19.23.29; il est évident que 1 étant "neutre" et ne donne aucun renseignement sur la primalité d'un entier, il est remplacé dans l'algorithme par 31 et pour finir: la différence d entre ces entiers donne le cycle suivant 6.4.2.4.24.6.2.....à l'infini et dont la somme du cycle vaut 30.
Comme ça, tu sais comment j'ai construit l'algorithme et la famille des nombres premiers >5 -
Bonsoir Leg,
Ne penses-tu pas que cela découle plutôt du fait que si n n'est pas multiple de 3 alors :
soit n = 3k+1,
soit n = 3k+2
(3k+1)² = 9k+6k+1
(3k+2)² = 9k+12k+4
n² est donc congru à 1 modulo 3, donc n²+2 est divisible par 3. Par conséquent pour être premier n doit être multiple de 3 et donc un multiple impair.
Salut
Euzenius -
Bonjour Euzenius.
Bien sûr, c'est l'explication mathématique, rigoureuse pour cette suite, sans chercher de relation avec d'autres ensembles d'entiers... ou d'exemples... moi ce sont les relations.
La suite n²+2, ne donne qu'une petite infinité de premiers... et pour moi pas grand chose à utiliser dans les nombres premiers
Je pense qu'il serait d'ailleurs très difficile en partant (3k +1)² et (3k +2)² d'aller construire l'algorithme P[30], mais tous les chemins mènent à Rome:D ("il suffit d'avoir la bonne imagination")
Bonne journée
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Bonjour!
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