Classe de Stiefel Whitney (formes quadratiques)

Eric Chopin

Salut,

Quelqu'un a-t-il sous la main une présentation assez simple de la classe de Stiefel-Whitney, surtout dans le cas particulier d'une forme quadratique (sur un corps quelconque).
J'aimerais comprendre comment on le relie à l'invariant de Hasse-Witt et éventuellement comment on peut la calculer sans faire intervenir un produit de symboles de Hilbert...
C-à-d plus en faisant intervenir des aspects purement topologiques (homotopie ...).

Merci d'avance,
Eric

yMhCJ

Je suis un peu étonné car je travaille sur les formes quadratiques sans jamais avoir entendu parler de classes de Steifel-Whitney. De quoi s'agit-il? Je serais aussi intéressé par une introduction.

Eric Chopin

Salut,

Voir par exemple:

http://www.math.u-psud.fr/~pansu/web_dea/chapitre6.pdf

L'idee c'est qu'une forme quadratique permet de definir une variété et
que la topologie de cette variété possède des classes caracteristiques
qu'on peut calculer, dont les classes de Stiefel-Whitney (c'est celle d'ordre 2 qui m'intéresse).
Cette classe permet de relier un invariant algébrique (Hasse Witt, obtenue comme
produit 2 à 2 des symboles de Hilbert des coefficients de la forme quadratique
exprimée sous forme diagonale) à une notion plus topologique.
Le document ci-joint est pas mal fait mais assez général sur cette notion
et je cherche une présentation plus simple (si ca existe), ne concernant
que les formes quadratiques et pas forcément n'importe quel fibré vectoriel.

A+

eric

GreginGre

As-tu regardé l'article original de Delzant ??

Eric Chopin

Très bonne question !!
J'avais noté la ref (CR Acad Sci 255 (62) 1366), mais je ne suis pas encore allé le voir.
Je vais essayer de le trouver à midi dans ma bibli préférée (mais c'est pas sûr qu'ils aient ce volume un peu ancien sur Genève)..

eric

Eric Chopin

Bon alors j'ai le papier de Delzant, mais il est tres, tres synthetique ... (3 pages), et
si je comprend a peu pres qu'il montre que les classes de Stiefel Whitney forment des
invariants, le lien avec l'invariant de Hasse ne me parait pas clair... le lien
doit se trouver dans le papier de Witt qu'il cite en reference (Crelles 1937), mais
qui est en allemand et j'ai eu la flemme de le copier... en espérant trouver
quelque chose de plus récent et si possible un peu plus simple...

Eric

Eric Chopin

Je fais remonter au cas ...

eric

Gna

même si je n'y connais rien cela me fait penser à du cobordisme algébrique.

Gna

Eric Chopin

c'est relié je pense effectivement, mais j'aimerais juste trouver une description simple
dans le cas particulier des formes quadratiques, et si possible une explication simple
que la 2e classe de Stiefel Whitney correspond bien à l'invariant de Hasse Witt.

A+
eric

Meu

As tu regardé les papiers de

Milnor
Algebraic K-theory and quadratic forms
Inventiones Mathematicae, Volume 9, Number 4 / December, 1970

et Arason
Cohomologische invarianten quadratischer Formen
Journal of Algebra, Volume 36, Issue 3, September 1975, Pages 448-491

?

Cordialement.

Eric Chopin

Merci pour les refs, j'irai y jeter un oeil lundi.

eric

GreginGre

Pour moi les classes de Stiefel-Whitney sont définies en termes de cohomologie galoisienne, donc la 2eme classe est égale par définition à l'invariant de Hasse.

En revanche si tu veux une définition topologique il y a peut-être un espoir.

La classe caractéristique $w_2\in H^2(BO_n,\mathbb{Z}/2)$
doit raisonnablement (?) correspondre
à l'extension de groupes algébriques $$1\to \mathbb{Z}/2\to Pin_n\to O_n\to 1$$
si les choses sont bien faites(maisj'y connais rien en cohomologie d'espaces classifiants et classes caractéristiques .)

En prenant l'image directe, on obtient un morphisme $ w_2^*:H^1(k,O_n)\to H^2(Gal(k_s/k),\mathbb{Z}/2)$

qui doit être égale à peu de chose au premier connectant de la suite exacte précédente qui est $q\mapsto w_2(q)$ (ca j'en suis certain ).

Avec un peu de chance, on a $w_2^*(q)=w_2(q)$...de toute façon, on aura $w_2^*(q)=w_2(q)+(\alpha)\cup \det(q)$ où $\alpha\in k^\times$, ça c'est sûr.


Faut faire les calculs...tu me diras, j'aurai le temps pendant les 13 heures de vol LOL

Eric Chopin

Merci pour ta reponse Greg,

La presentation que j'ai lue de la classe de Stiefel Whitney est dans le cours de Pierre Pansu
et il en donne une definition topologique:
Si $\xi$ est un fibré vectoriel réel lisse orienté de rang $n$, les classes de Stiefel Whitney sont
définies par les axiomes:
- $w(\xi)$ a des composantes uniquement en degré inférieurs ou égal à $n$
- $w(\xi \oplus \xi') = w(\xi) \cup w(\xi')$
- Si $\gamma_1$ est le fibré tautologique de $RP^1$ alors
$w(\gamma_1) =1 + a$ ou $a$ est le générateur de $H^1(RP^1, Z/2Z)$
(dans les notes de Pierre Pansu il est ecrit $w(\gamma_1^C) =1 + a$ mais je pense
que c'est une coquille, un copier-merder quoi ;-) ).

Et je n'arrive pas a faire le parallele avec l'invariant de Hasse qui est purement algébrique...

A+

Eric
ps: et bon voyage (de retour je présume)... ca va te changer de temperature ici !!! ;-)

GreginGre

Je ne sais pas ce que c'est que $RP^1$, et j'y connais rien en topo algébrique, donc je ne peux pas trop te répondre. Néanmoins, je vais essayer de clarifier les propos de mon dernier post...ça pourra peut-être t'aider.

{\bf Définition: }Un invariant cohomologique de degré $d$ des formes quadratiques de rang $n$ est un foncteur $$Quad_n\to H^d(_-, \mathbb{Z}/2),$$
où $Quad_n$ est le foncteur défini sur la catégorie des extensions de $k$ (corps de base fixé) des classes d'isomorphisme de formes quadratiques non dégénérées de rang $n$.

Ex: $sw_d: q\mapsto w_d(q)$.

Si $w$ est un invariant cohomologique de degré $d$, et si $\alpha\in H^r(k,\mathbb{Z}/2)$ (cohomologie galoisienne. C'est aussi la cohomologie étale sur $Spec(k)$), on peut associer un invariant cohomologique $\alpha\cup w$ de degré $d+r$ comme suit:

Si $E/k$ est une extension de $k$, et si $q$ est une forme quadratique sur $E$, on pose
$(\alpha\cup w)(q)= Res_{E/k}(\alpha) \cup w(q)$.


{\bf Thm : }Tout invariant cohomologique des formes quadratiques de degré $d$ est de la forme

$\alpha_d+\alpha_{d-1}\cup sw_1+\ldots+\alpha_0\cup sw_d$, où $\alpha_i\in H^i(k,\mathbb{Z}/2)$

Donc, si tu arrives à construire à partir de la classe de Stiefel-Whitney topologique
un invariant cohomologique des formes quadratiques (probablement en prenant l'image directe), disons $w'_2$ alors on aura nécessairement

$w'_2=\alpha_2+\alpha_1\cup w_1 +\alpha_0\cup w_2$.

Y a plus qu'à comparer pour certaines formes quadratiques bien choisies pour calculer les $\alpha_i$.

Pour $\alpha_2$, c'est facile, c'est la valeur en la forme unité, et intuitivement, ça m(étonnerait que $\alpha_0$ soit nul, donc il est égal à $1$. Y a plus qu'à trouver $\alpha_1$.


Mais bon, peut-être que t'as pas besoin de tout ça.
Essaye de calculer ce que donne ta définition topologique avec la forme $\langle a\rangle$, déjà...

Eric Chopin

Ok merci je vais potasser tout ca. Sinon $RP^1$ c'est simplement le plan projectif
de dimension 1, c'est a dire $R^2 \backslash \{0\}$ modulo les dilatations.

a+

eric