Distance euclidienne dans un espace projectif

Bonjour,
je travaille sur la modélisation d'arcs de coniques par des I.F.S. (on doit utiliser des applications contractantes) en utilisant l'algorithme de De Casteljau.

Dans un premier temps, je suis dans le plan affine euclidien usuel $P$ et j'ai un I.F.S. qui construit un arc de parabole. Pour obtenir les autres coniques, je dois travailler dans la fermeture projective du plan $P$.

Ma question est la suivante : peut-on définir une distance sur la fermeture projective de $P$ qui coïncide avec la distance euclidienne sur $P$ ?

J'ai vu dans le Tisseron que si on a un espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire $< , >$, on peut munir l'espace projectif $P(E)$ d'une distance en utilisant la fonction $\arccos$ et en projetant les points sur la sphère unité. Malheureusement, cette distance est très vite bornée !!!

Merci d'avance à toute personne qui me répondra.

Lionel

Réponses

  • Une distance (continue) sur un compact est bornée, la distance euclidienne ne l'est pas sur le plan. Donc la réponse est non.
  • Salut,

    S'il s'agit simplement de trouver un distance $d'$ sur $\overline{P}$ qui prolonge la distance euclidienne $d$ sur $P$, alors pas de problème : tu plonges $P$ dans un espace $E$ de dimension $3$, tu choisis une bijection entre les points à l'infini et un cercle de $E \setminus P$, et tu prends la distance induite par celle de $E$ (je ne sais pas si je suis clair).

    Maintenant si tu veux que cette distance $d'$ induise la bonne topologie sur $\overline{P}$, ça va être plus difficile. Par exemple parce que si $x$ est un vecteur non nul, les suites $a+nx$ et $a-nx$ convergent vers le même point à l'infini, donc on devrait avoir $d(a+nx,a-nx)=2n||x|| \to 0$. Ou plus rapidement parce que $\overline{P}$ est compact, donc toute distance qui induit sa topologie naturelle sera bornée.
  • J'ai une question, la distance sur $E$ est-elle la distance euclidienne usuelle ?

    Je travaille en coordonnées homogènes. Dans le plan $P$, si les coordonnées de $M$ sont $(x,y)$ alors elles seront $(\omega x, \omega y,\omega)$, $\omega \neq 0$, dans la fermeture projective de $P$. L'hyperplan à l'infini est l'ensemble des points de la forme $(x,y,0)$.

    Par contre, je ne m'intéresse pas aux aspects topologiques.

    Lionel
  • Par contre, je ne m'intéresse pas aux aspects topologiques.

    A quoi te sers une distance alors ? Sinon, je ne vois pas comment marche ta construction de prolongement, egoroff.
  • J'explicite alors : on choisit un repère affine orthonormé de $P$, on définit une injection de $P$ dans $E=\R^3$ en associant au point de coordonnées $(x,y)$ le triplet $(x,y,1)$ (c'est bien une isométrie d'image un plan affine $\Pi$), et on prend sa bijection préférée entre $\overline{P} \setminus P$ et le cercle $C=\{(x,y,0), \, x^2+y^2=1\} \subset E$. Alors la distance de $E$ induit sur $\Pi \cup C$ une distance qu'on peut tirer en arrière pour en déduire une distance sur $\overline{P}$, et qui coïncide alors avec la distance euclidienne sur $P$. Non ?
  • Je dois avoir un attrateur qui est une application contractante.

    En fait, à partir du plan affine $P$ d'espace vectoriel attaché, $\overrightarrow{P}$, on définit la fermeture projective de $P$ comme étant l'espace projectif $P(\overrightarrow{P}\times R)$ et cet espace s'identifie à $P$ auquel on ajoute les directions de $\overrightarrow{P}$.

    Lionel
  • @egoroff, oui ok sur un dessin. Mais c'est un peu artificiel, du genre pas connexe par exemple, non ?

    @lionel21. De toutes façons, tu vas avoir du mal à travailler du point de vue informatique sur le plan projectif si tu souhaites conserver la distance euclidienne sur le plan affine. Encore une fois, elle n'est pas bornée, donc elle ne rentrera pas dans la machine, me semble-t-il.
  • @remarque :
    Je suis en train de publier un article sur la construction d'arcs de coniques en travaillant directement dans le plan affine : je construis, à la règle et au compas sous certaines conditions, directement la projection sur le plan affine d'un I.F.S. qui végète dans la fermeture projective du plan affine.
    Je dois comparer ma méthode aux méthodes existantes et je souhaite comprendre comment on peut étendre la distance euclidienne à l'espace projectif. Je ne me satisfais pas du truc : on prend les coordonnées homogènes, on fait des calculs et on reprojette sur le plan affine.

    Merci à tous les deux.
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