si un jeune veut une médaille Fields

christophe c

Le sujet qui suit (une conjecture avec peut-être une hypothèse manquante) devrait rapporter une médaille Fields à qui le dénouera. Comme je suis vieux, ça a peut-être déjà été réglé, mais franchement, j'en doute, vue la nature du problème (qui allie plusieurs spécialités). Les jeunots qui se sentent d'attaque devraient s'y attaquer, rien qu'y réfléchir peut être enrichissant.

Soit $E$ un espace topologique compact et $a\in E$. Soit $T$ l'ensemble des suites $(f_0; f_1;f_2;.\ldots)$ de fonctions continues de $E$ dans $E$, homotopes à la fonction constante $x\to a$. Soit $W$ l'ensemble des suites d'éléments de $E$

Définition1: une application $z$ de $T$ dans $W$ est appelée une mécanisation de $E$ si elle a les propriétés suivantes :

1) Pour toute $f\in T$ la suite $u:=z(f)$ vérifie: $\forall n\in \N,\ f_n(u(n+1))=u(n)$

2) Associativité : pour toute $f\in T$ et toute suite $v$ strictement croissante $p:\N\to \N:\ z(j(p,f))=i(p,z(f))$

en définissant i et j de la manière suivante: $j(v,f)$ est le suite de fonctions $(g_0;g_1;g_2;...>$ définie par: $g_n:=f_{p(n)}o...of_{p(n+1)-1}$ et $i(p,u)$ est la suite $v$ définie par $v(n):=u(p(n))$

(en espérant ne pas avoir fait d'erreur d'indice, mais en lisant bien vous pouvez la corriger)

Définition2: un espace compact $E$ est dit mécanisable s'il existe une mécanisation de $E$.

Conjecture: (un zeste trop général) Tout espace compact est mécanisable

(affaiblissements éventuels: toute esp compact métrique, ou encore tout sous espace compact d'un evt, etc)

MF seulement en cas de preuve de "beaucoup" (voir tous) d'esp.compacts mécanisables

christophe c

A formellement parler, il y a plusieurs énoncés, à priori variantes mineures, qui concernent $a$.

"pour tout $a\in E$..."

"il existe $a\in E$..."

christophe c

Les liens qui suivent précisent la notion "d'homotope à une fonction constante", et donnent quelques détails sur cette notion de compacité + construction par récurrence à l'envers.

En particulier, si on enlève la condition d'associativité (2) de "mécanisation" ci-dessus, tout espace compact est "faiblement mécanisable" sans même avoir besoin de se restreindre aux fonctions homotopes aux constantes.

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?7,531221,531280#msg-531280
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?7,531221,531229#msg-531229
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,526100,527043#msg-527043

A noter que la conjecture ci-dessus entraine, à titre de cas particuliers, les théorèmes de Brouwer, de Schauder, et surement de bien d'autres.

christophe c

J'ai vraiment le sentiment qu'il ne s'agit pas de pub mensongère, et même précisément que la conjecture est fausse (donc qu'elle implique tout, donc...)

Pour cela, il suffirait de trouver f,g applications de $ [0 ; 1] $ dans $ [0 ; 1] $ qui commutent et n'ont pas de point fixe commun.
Il me semble me rappeler qu'elles existent (quelqu'un en a trouvé vers 1960 je crois)

christophe c

applications continues bien sûr!