germe de vie

Je promets d'expliquer le titre si quelqu'un trouve un exemple d'espace métrique compact $(E,d)$ le moins pathologique possible ayant la propriété suivante:

(en fait, j'ai déjà posé cette question, mais dans un fil assez fouillé ou plusieurs sujets étaient abordés, il me semble qu'elle mérite une attention de analystes qui nous font l'honneur de vacancer un peu ici)

Il existe une application $f$ de $E\times [0;1]\to E$ et un élément $a\in E$ tels que:

1) $f$ est continue
2) pour tout $x\in E: f(0,x)=a$
3) pour tout $x\in E: f(1,x)\neq x$

Il me semble vaguement me souvenir que cette propriété s'appelle "non contractibilité de $(E,d)$", mais suis pas sûr.

Evidemment qu'il en existe, mais la question est: en trouver qui soient le plus proches possibles d'un espace réaliste (une bonne variété bien ronde de dimension finie, ou ce genre-là)

En fait, j'ai de fortes raisons de penser qu'il ne peut pas y en avoir de non magiques, mais c'set trop long à détailler. Curieusement, ces espaces seraient "vivants".
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Réponses

  • Je ne crois pas que ce soit la non contractilité, qui est que l'identité n'est pas homotope à une fonction constante. Par ex, le cercle n'est pas contractile, mais je n'ai pas l'impression qu'il vérifie ta propriété pour des raisons de degré topologique. Donc je ne sais pas, mais je ne vois pas trop comment ça pourrait marcher sur une variété.
  • Ah et bien merci, à une époque, je m'étais renseigné, et en fait on m'avait dit que c'était la contractilité, donc et bien 15 ans plus tard, retour à la case départ (quelqu'un m'avait même fourni des pdf que j'avais eu la flemme de lire, sur des espaces soit disant "non contractiles" (dans le sens réputé ci-dessus), car ils étaient sacrément exotiques, pas du genre "le cercle" tout gentil)

    Donc tu me confirmes que le cercle n'est pas contratile et que contractile veut dire autre chose (:=identité homotpe à fonction constante)

    Autrement dit $E$ contractile signifie:

    il existe une application continue $f$ de $E\times [0,1]$ dans $E$ et $b\in E$ telle que:

    $\forall x\in E: f(x,0)=b$

    $\forall x\in E: f(x,1)=x$


    ? (Si oui, effectivement, cette propriété ne "m'intéresse pas", c'est vraiment celle du premier post qui m'intéresse)
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  • IL va sans dire, mais peut-être mieux en le disant que si suffisamment d'espace n'ont pas la propriété exceptionnelle du post1, alors Schauder en découle immédiatement... d'où l'aspect passionnant de cette propriété et de plus, elle "unifie" en ce qu'elle semble ne pas être sensible aux "trous" ou autre virage dans les différents espaces. C'est vraiment quelque chose de "topologie non algébrique" qui fait qu'un espace est exceptionnel ou non

    Par exemple, le cercle n'est pas exceptionnel, etc (bien que n'ayant pas la prop du pont fixe)

    (j'appelle "espace exceptionnel" un esp qui a la prop du post1)
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  • Il me semble que le théorème des points fixes de Lefschetz empêche d'avoir ce que tu cherches. A vérifier.
  • Merci ga,

    j'ai vraiment galéré longtemps sur internet pour trouver un doc qui en parle de ce théorème.

    Finalement, j'ai trouvé ça: http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/lepshcetz.pdf
    (j'ai copiécollé le pdf car il était dans une page déclenchant le port 443 sécurisé)

    Il y a 90 pages, mais effectivement, d'après l'application p89, il semble que les espaces exceptionnels soient rares. Le problème est que je ne comprends pas vraiment (faudrait une longue lecture de tout le pdf) l'énoncé du th de Lep.. ni les concepts développés dans le document.

    A priori, on dirait que les espaces exceptionnels ne puissent être des "complexes finis" comme dit dans le document.
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  • Je redis quelques trucs, pour fixer les notations:

    Je dis qu'un espace topologique $E$ est un germe de vie s'il a la propriété suivante:

    il existe $a\in E$ et $f$ continue de $E\times [0;1]$ dans $E$ tels que:

    1) $\forall x\in E:f(x,0)=a$
    2) $\forall x\in E:f(x,1)\neq x$

    Dans les posts précédents, j'ai appelé ça un "espace exceptionnel".

    D'après la suggestion de Ga, j'ai trouvé un pdf sur le net établissant qu'un espace topologique qui de plus est un "complexe fini" (je ne sais pas ce que c'est) ne peut pas être un germe de vie.

    Voilà où en est le présent fil.


    A remarque, à l'avant dernier post, je disais que c'est un problème général, en fait je précise (c'est trivial): un espace topologique contractile (avec la définition donnée par remarque) qui n'est pas un germe de vie vérifie que toute ses ap continues ont un point fixe (exercice).
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  • Wikipedia (la version anglaise, mieux fournie) peut de donner des informations utiles sur ce qu'est un complexe (simplicial) fini et aussi sur le théorème des points fixes de Lefschetz..

    L'idée est qu'une application continue homotope à une constante, et donc qui agit sur l'homologie comme une application constante, écrase toute l'homologie en dimension >0. En dimension 0, elle est de trace 1. Donc le nombre de Lefschetz (somme alternée des traces) vaut 1, ce qui implique l'existence d'un point fixe.
  • Merci Ga, à ce que je vois, si je veux le comprendre, ça me fait une raison de plus d'apprendre l'algèbre linéaire (grrr), il y est question de traces de matrices, etc... En tout cas, effectivement, le document wiki anglais est très bien (je ne l'avais pas trouvé)
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  • Tous les sous-espaces compacts connexes d'un $\R$-ev de dimension fini sont-ils des "complexes finis"? On dirait un peu à lire la doc
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  • Bien sûr que non (ah si tout de même, en dimension 1).
    Mais tous les compacts "modérés" de Rn (définissables dans une structure o-minimale) sont triangulables, c.-à-d. homéomorphes à des complexes simpliciaux finis.
  • Ca parait assez clair que non il me semble ? Par exemple si $K$ est l'ensemble de Cantor alors $(K \times [0,1]) \cup ([0,1] \times \{0\})$ est un compact connexe par arcs, et n'est certainement un complexe simplicial fini.

    [La case LaTeX. :) AD]
  • Merci pour ces infos, donc au fond le théorème de Lefschetz ne règle pas encore la question: en particulier, je ne vois pas trop pourquoi l'exemple d'egoroff serait un germe de vie.

    (je rappelle la motivation: s'apercevoir que presqu'aucun espace compact n'est un germe de vie: ce n'est pas du pessimisme lol, mais une manière de pouvoir ensuite se concentrer sur les propriétés des germes de vie en les "isolant")

    En fait, le théorème maximum serait: aucun espace compact n'est un germe de vie (j'y crois pas trop)

    Comme exemple de germe de vie non compact, $\R$ suffit: $(x,t)\to t(x+1)$
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  • Récapitulation:

    -par définition, on demande à un germe de vie d'être compact.
    -s'il y en a un intéressant, on peut le supposer connexe (on prend la composante connexe où le couple (a,f) de la définition oeuvre)
    -aucun complexe simplicial fini (j'essairai de comprendre ce que c'est (je veux dire à homéomorphisme près)) n'est un germe de vie
    -il y a des tas de compacts connexes qui ne sont pas des complexes simpliciaux finis. Parmi eux, y a-t-il des germes de vie?
    -s'il y a un germe de vie, je pense qu'on peut alors y choisir un sous-espace et y mettre une métrique (en balayant l'image de f), donc à priori, s'il y en a, il y en a un qui est métrique, me semble-t-il...
    -(spéculation!!!!) plus la fonction f du couple (a,f) de la définition sera différentiable, plus ce sera intéressant comme germe de vie, et j'ai la (vague) sensation qu'on pourrait faire comme précédemment: dire que s'il y en a un en tirer la substantifique moelle lol pour en faire un qui soit différentiable (et du coup, il semble peu probable qu'il y en ait en tant que sous-espaces d'un ev de dim finie)
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