symbole infini

Bonjour, voila un moment que je me pose la question, je me demande si le symbole $\infty$ a une definition formelle. Ce terme est utilise de manieres differentes dans differentes branches des maths (degre d'un polynome, limites, compactification.....), est-il defini rigoureusement??

Merci par avance pour vos reponses.
Simon

Réponses

  • bonjour

    est-ce le symbole oo ou le concept lui-même d'infini qui te pose problème?
    le symbole (ou écriture) est secondaire; le concept est bien-sûr plus important

    tu le rencontres en psychologie (bétise infinie) en physique (masse ou énergie infinie)
    en histoire naturelle (origine infinie du monde) en astrophysique (infini des distances)
    et enfin en mathématiques (ensembles infinis, figures à l'infini)

    les matheux ne sont donc pas les seuls à s'intéresser à l'infini
    mais grâce à l'analyse et à la géométrie
    (convergence, divergence des suites, des séries, des intégrales)
    (courbes asymptotiques, points infinis)
    ils ont réussi à cerner assez bien l'infini sans jamais l'avoir fréquenté
    alors que physiciens, biologistes, astronomes; psychologues
    sont quelque peu gênés lorsqu'ils faut en parler

    cordialement
  • Le symbole $\infty$ est une notation, qui est précisément définie dans chacun des cas d'utilisation que tu donnes. Par exemple on dit que le degré d'un polynôme est -$\infty$ ssi ce polynôme est nul, qu'une fonction tend vers $+\infty$ si quelque soit $A$ il existe $x$ tel que $f(x)>A$, etc...
  • Bonjour,
    Ce symbole est une constante définie comme suit : Pour tout nombre réel x , x est inférieur à (+)infini. et Pour tout réel x x est supérieur à (-) infini. Une constante est un symbole de ton langage qui est interprété dans un modèle.
  • L'infini est défini rigoureusement à chaque fois qu'on est amené à l'utiliser, non? Qu'entends-tu par "utilisé différemment"?
    Bref, que cherches-tu de plus concernant cette notation?

    Bien cordialement
    Christian
  • Bonjour.

    Contrairement à ce que dit Newgaia, le symbole $\infty$ n'a pas une "définition", mais des usages, divers suivant les cas. par contre, je suis d'accord avec Newgaia qu'une des acceptions intuitives de $+ \infty$ est d'introduire un nombre supérieur à tous les réels. Ce qui permet de travailler par exemple plus simplement avec les intégrales de fonctions positives. Ou de définir la "droite réelle achevée". Etc. Et à ne pas confondre avec la notation $+ \infty$ des limites (même s'il y a un lien fort, mais la notation des limites infinie est plus générale) ou avec le $\infty$ de la droite réelle projective.

    Cordialement
  • ok merci pour vos reponses. Malheureusement je n'ai pas pu aller sur internet ces derniers temps, d'ou ma reponse tardive...
    Plus precisement je voulais dire que l'infini $\infty$ n'a pas de definition generale comme par exemple: un ensemble, une application, le nombre 6, un groupe...... simple remarque...
  • Il faut comprendre que (+) infini (-) infini comme des éléments distingués. On a un premier langage L et on rajoute deux constante, L union { (+)infini,(-)infini }. Ensuite dans l'ensemble de formule , on rajoute les deux formules : Pour tout nombre réel x , x est inférieur à (+)infini. et Pour tout réel x x est supérieur à (-) infini. Tu trouves un modèle qui satisfait le nouvel ensemble de formules (je dis formule et pas uniquement formules closes) . Ce modèle est un modèle pour les anciennes formules et pour les deux formules qui "parle" de deux nouvelles constantes. C'est ce que je voulais entendre "défini". En effet, il ne s'agit pas d'une définition au sens strict car on en est bien loin. Tu devrais jeter un coup d'œil sur la théorie des modèles, elle est tout à fait appropriée pour ce genre de problème. Pour illustrer cela, par exemple < N, > > est différent de < N, >, 0>. Une autre analogie , prends la phrase "il existe un président" et "Nicolas Sarkozy est président" sont différent. Selon la première phrase, on ne sait pas de qui on "parle". Dans la seconde, l'élément est distingué.
  • ok. Merci pour cette reponse detaillee. Justement je m'interesse de plus en plus a la logique mathematique (je me suis restreins a wikipedia pour l'instant) et malheureusement j'ai du mal a bien tout comprendre malgre mes quelques connaissances en theorie des ensembles. Connaissez vous des livres assez generaux en logique mathematique afin que je comprenne deja des principes de bases? Ensuite je pourrais m'interesser a la theorie des modeles en particulier ou autres (theorie de la demonstration...). J'ai a peu pres un niveau maitrise (mais je ne me restreins pas aux programmes).
    N'hesitez pas a me donner des references peu importe la difficulte.
    Merci par avance.
  • Bonjour,

    A qui doit-on ce joli symbole $\infty$ ?

    Merci.
  • A ce bon monsieur John Wallis, si on en croit cette page.
  • Confirmé par la wiki, cher bs.
  • Model theory de Maria Manzano est un véritable délice pour se familier à la théorie des modèles.
    Logique mathématique T1 et T2 de Cori & Lascar font le point sur tous les notions fondamentales (logique, theorie des ensembles, calculabilité, theorie des modeles).
    Ensuite, il exite des livres nettement plus pointu dans la théorie des modèles, plus orienté vers l'albegre. Par exemple Bruno Poiza, cours de théorie des modules. Il y en a bien d'autres dont la valeur (pas le prix) est inestimable.
  • Merci Aleg, c'est un grand plaisir de te relire.

    Amicalement.
  • Merci bien Newgaia, je vais m'interesser a ces references et peut etre mettre un autre post dans la partie logique.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.