Théorie des ensembles ZF et intersection

Bonjour. Je m'amuse à lire deux trois petites choses dans le « Théorie des ensembles et topologie » de Laurent Schwartz sur les cinq premiers axiomes de la théorie des ensembles (pages 23 à 37 incluses pour ceux qui l'ont sous les yeux). Là où je sèche, c'est à la page 32 théorème 1.2.9 que M. Schwartz énonce ainsi (j'espère qu'il n'y aura pas de souci de droit d'auteur avec ce que je vais citer) :

$(\forall a \neq \varnothing)(\exists b)(\forall x)[(x \in b) \leftrightarrow ((\forall c)(c \in a)\rightarrow(x \in c))]$

Au moment où il démontre ce théorème, seuls ont été énoncés les axiomes d'extensionnalité, de sélection et de la réunion.

La démonstration qu'il donne est la suivante.
*****
Puisque $a$ est non vide, soit $c \in a$. Posons : $b = \{ x \in c : (\forall z \in a)(x \in z) \}$, alors l'axiome de sélection nous permet de dire que $b$ est un ensemble et cet ensemble est unique d'après l'axiome d'extensionnalité.
***** (fin de la démonstration et de la citation)

Ce qui me gène dans la définition de $b$, c'est cet ensemble $c$ : j'ai l'impression que l'ensemble $b$ défini dépend de l'ensemble $c$. L'énoncé du théorème montre que ce n'est pas le cas et je n'arrive pas à le démontrer.

Puisque nous y sommes, il énonce l'axiome de la réunion ainsi :
$(\forall a)(\exists b)(\forall x)[(x \in b) \leftrightarrow (\exists c)((c \in a) \wedge (x \in c))]$.
Il est clair, me semble-t-il, que $a$ est au moins un ensemble. Je dis « au moins » parce que je suis tombé sur un document où il est dit que $a$ est une classe d'ensembles. Ça ne m'ennuie pas car on peut alors définir la réunion d'une classe d'ensembles (rien de bien choquant) mais cela signifie-t-il que dans les axiomes de ZF, on peut manipuler tantôt des ensembles, tantôt des classes selon ce qui nous arrange ?

Merci de vos réponses. ;-)

LE PINGOUIN

Réponses

  • Peut-être est-ce une faute de frappe et qu'il faut lire $a$ à la place de $c$ dans la définition de $b$ ?

    Je ne sais pas je dis ça comme ça sans avoir réellement relu tout ce que tu as écrit (:P)

    [Activation de \LaTeX. Bruno]
  • OK mais à ce moment-là, pourquoi introduire cet ensemble $c$ ? Et pourquoi prendre la précaution $a \neq \varnothing$ ?
  • Ok je n'ai rien dit :D
  • Sans compter que j'ai trouvé sur le Net un autre document qui dit la même chose (modulo les lettres).
  • Soit $c' \in a$. Posons $b' = \{ x' \in c' : (\forall z \in a) (x' \in z) \}$.
    On veut montrer $b \subseteq b'$.
    Soit $x \in b$. On a $x \in c'$ et $(\forall z \in a) (x \in z)$, donc $x \in b'$.
    Non?
  • Ça me paraît pas mal mais comment justifiez-vous $ \in c'$ dans votre troisième ligne ?
  • Puisque $x \in b$, on a $(\forall z \in a)(x \in z)$. Maintenant, $c' \in a$; donc $x \in c'$.
  • Ah bah oui, évidemment ! Merci. Ainsi la définition donnée de $b$ ne dépend pas du choix de l'élément $b$ et elle est donc consistante. Et cette définition nécessite bien le fait que $a$ soit non vide. Bien, bien, bien...

    Si je peux me permettre d'abuser :D, que pensez-vous de ma remarque sur le fait de travailler tantôt avec des ensembles, tantôt avec des classes (cf? la fin du message initial) ?
  • Les axiomes de ZF parlent des ensembles (pas de classes).
    L'axiome de la réunion dit que pour tout ensemble a, il existe un ensemble b tel que...
    Il n'est pas vrai que pour toute classe a, il existe un ensemble b tel que...
    On peut peut-être faire la réunion d'une classe d'ensembles, mais ça ne donnera pas nécessairement un ensemble; et ce qui nous intéresse ici est de savoir que l'on dispose de certains ensembles qui ont certaines propriétés.
  • Ça me gênait en effet un peu de parler d'une classe comme ça mais ça ne me gênait pas pour autant de faire la réunion d'une classe d'ensemble. Je vous renvoie à ce document que j'ai trouvé (page 3, axiome 5 et conséquences). En somme dans la théorie des ensembles, quoi qu'il arrive, les objets manipulés sont des ensembles, point à la ligne basta merci au revoir.
  • Oui, dans la théorie des ensembles, les objets manipulés sont des ensembles.
    Je n'ai pas vu que dans le document, on parle de "classe" d'ensembles. On y parle de "famille d'ensembles"; c'est peut-être pour des raisons pédagogiques, mais ça semble avoir les effets contraires à ceux désirés : cette famille d'ensembles, en fait, c'est un ensemble, comme tous les autres.
  • Fort bien... Merci de vos réponses.
  • Une autre petite chose. Ce que nous avons vu nous permet-il de définir l'ensemble $b$ de la façon suivante
    $b = \{ x \in \scr{E} : (\forall z \in a)(x \in z) \}$
    où $\scr{E}$ désigne la classe de tous les ensembles (bien que n'étant pas elle-même un ensemble) ?

    Si tel est le cas, il me semble que l'introduction de l'ensemble $c$, et donc du fait que $a \neq \varnothing$, sert uniquement à utiliser l'axiome de sélection pour pouvoir affirmer que $b$ est bel et bien un ensemble. Si l'on n'utilisait pas cet axiome, pourrait-on malgré tout définir $b$ en disant seulement qu'il s'agit d'une classe d'ensembles qui peut ne pas être un ensemble ? (La fin est-elle bien claire ????? :D)
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