caractérisation ensembliste injectivité

Bonjour,

Soient $X$ et $Y$ deux ensembles non vides, et $f$ une application de $X$ vers $Y$.

On désigne par $f^{-1}$ l'application réciproque. Soit $A$ une partie quelconque de $X$

Je souhaite démontrer l'équivalence entre $f$ injective et l'égalité : $A=f^{-1}(f(A))$

On procède donc par double inclusion, en raisonnant à chaque fois par l'absurde. Et j'aimerais votre avis sur la rédaction suivante dans le sens :
"$f$ injective" implique $A=f^{-1}(f(A))$

Raisonnons par l'absurde en supposant $f$ injective et $A\neq f^{-1}(f(A))$. La négation de mon égalité a pour conséquence l'inclusion stricte : $A\subsetneq f^{-1}(f(A))$
Soit alors $x$ appartenant à la différence entre $f^{-1}(f(A))$ et $A$.
Alors $f(x)\in f(A)$ et $y=f(x)$. Donc $y\in f(A)$. Et il existe $x'\in A$ tel que $y=f(x')$
Autrement dit, on a d'une part $x\neq x'$ et d'autre part, $f(x)=f(x')=y$
Ce qui est contradictoire avec $f$ injectif.

Qu'en pensez-vous ?
En vous remerciant d'avance,
Clotho

Réponses

  • Merci Alain pour la modif de mon inclusion stricte :) Tu auras remarqué que j'ai progressé en Latex.
    a+
    Clotho

    [A ton service :)
    Comme tu peux le constater, les commandes latex sont toutes en minuscule, \Subsetneq n'avait aucune chance ;) AD]
  • Cloto,

    Pour montrer que $f$ injective est equivalent a $A=f^{-1}(f(A))$
    Tu dois en effet montrer que $f$ injective $\Longrightarrow$ $A=f^{-1}(f(A))$ et ensuite montrer que $A=f^{-1}(f(A))$ $\Longrightarrow$ $f$ injective.

    Pour $f$ injective $\Longrightarrow$ $A=f^{-1}(f(A))$,
    tu dois juste montrer que $f$ injective $f^{-1}(f(A))\subset A$ car $A\subset f^{-1}(f(A))$ est toujours vraie.

    Pour $A=f^{-1}(f(A))$ $\Longrightarrow$ $f$ injective. tu prends deux elements $x,y$ dans $A$ et tu montres que $f(x)=f(y)$ implique que $x=y$.
  • Ton raisonnement me semble correct, sauf que c'est $f(x) \in f(A)$ et non $\in A$. Toutefois, le raisonnement par l'absurde alourdit beaucoup la redaction dans ce cas. La preuve directe est fortement recommandee.
  • Salut fred,

    En effet.
  • Salut Kito,

    Je suis bien d'accord avec toutes tes précisions.

    Seulement dans le sens qui m'intéresse, comment puis-je alors traduire sous forme d'inclusion $A\neq f^{-1}(f(A))$ ?

    Je ne vois que l'inclusion $f^{-1}(f(A))\subset A$ puisque l'autre sens est tjs vrai ( j'avais oublié :) )

    Moyennant cette correction, est-ce que le reste de ma rédaction est valide?

    Merci
    Clotho
  • clothoide écrivait:
    > Salut Kito,
    >
    > Je suis bien d'accord avec toutes tes précisions.
    >
    > Seulement dans le sens qui m'intéresse, comment
    > puis-je alors traduire sous forme d'inclusion
    > $A\neq f^{-1}(f(A))$ ?

    en disant que $A$ n'est pas inclus dans $ f^{-1}(f(A))$ ou $ f^{-1}(f(A))$ n'est pas inclus dans $A$
  • clothoide écrivait:

    > Je ne vois que l'inclusion $f^{-1}(f(A))\subset A$ puisque l'autre sens est tjs vrai ( j'avais oublié :) )

    Tu prends $x\in f^{-1}\big(f(A)\big)$ alors $f(x)\in f(A)$ donc il existe $y\in A$ tel que $f(x)=f(y)$ mais comme $f$ est injective alors $x=y\in A$
  • Salut Fred,

    Je sais bien que c'est un résultat ultra classique et basique.

    Mais je m'entraîne de temps en temps à les refaire, histoire de ne pas perdre la main :)

    Qu'appelles-tu la preuve directe?

    Merci d'avance,

    Clotho
  • La preuve directe est celle que t'a donne Kito dans son fil precedent (en une ligne).
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