Impair, manque et Bezout...

Bonjour,

Soient a et b deux entiers impairs >1, premiers entre eux.
Si x et y sont deux entiers impairs tels que ax+by = 1 alors comment montre-t'on que toute autre solution est de la forme :

x+2kb, y-2ka, k entier relatif.

Posons e = +1 ou -1

Dès lors montrer que a et b (>1) sont premiers entre eux ssi :

1) il existe un unique couple (u,v) de naturels impairs, u<b, v<a tels que au - bv = 2e
2) il existe un unique couple (s,t) de naturels impairs, s<b, t<a tels que bt - as = 4e


Par exemple :

Pour a=3 et b=7
3x3 - 7x1 = 2
7x1 - 3x1 = 4

ou pour a=7 et b=17
7x7 - 17x3 = -2
17 - 7x3 = -4


Euzenius

Réponses

  • On part de quatre entiers impairs a,b,x,y tels que ax+by = 1. Ca commence bien.
  • Oui, bien sûr et ce n'est pas compliqué...
    et je devais aussi être un peu à la masse puisque

    9 - 5 = 4
    9x3 -5x5 =2

    sans que cela ne croise nécessairement !

    Merci malgré tout.


    Euzenius
  • Bonsoir,

    Juste une petite remarque tant que je suis plongé là dedans.

    Si p>q>1 sont deux entiers impairs premiers entre eux alors il existe un unique quadruplet (s,t,u,v) de naturels >0 tels que :

    ps - qt =1
    qu - pv =1
    s+v = q
    t+u = p

    Le système linéaire 4x4 en s, t, u, v étant évidemment de déterminant nul, on ne peut trouver la solution par inversion matricielle, mais les inégalités s>0, t>0, u>0 et v>0 permettent de garantir l'unicité de la solution (calculable avec l'algorithme d'Euclide étendu).

    La matrice 2x2 tirée des deux premières relations en p et q a par contre un déterminant, su-tv, égal à 1 ou -1 (a priori... mais je dis peut-être une stupidité faute d'être allé voir de plus près). Son inverse est à coefficients entiers strictement positifs (en permutant éventuellement p et q) :

    u t
    v s

    (désolé pour le non emploi du Latex mais le 14 juillet on n'est pas là pour se faire engueuler...).


    Euzenius
  • Dès qu'on a une solution entière (x0,y0) (s'il est existe) de ax+by=1 alors on a toutes les solutions.

    Toute solution (x,y) de ax+by=1 est en effet telle que x=x0+p, y=y0+q où (p,q) est une solution de ax+by=0

    Il est immédiat que (x0+p,y0+q) est une solution de ax+by=1. En effet:

    a(x0+p)+b(y0+q)=ax0+ap+by0+bq=(ax0+by0)+(ap+bq)=1+0=1

    ax0+by0=1 puisque (x0,y0) est une solution de ax+by=1
    ap+bq=0 puisque (p,q) est une solution de ax+by=0

    Réciproquement:

    Soient (x0,y0) et (x1,y1) deux solutions de ax+by=1

    a(x0-x1)+b(y0-y1)=(ax0+by0)-(ax1+by1)=1-1=0
    Puisque (x0,y0),(x1,y1) sont solutions de ax+by=1

    Donc (x0-x1,y0-y1) est solution de ax+by=0
  • Parfait,

    Merci

    Euzenius
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