Impair, manque et Bezout...

dans Arithmétique
Bonjour,
Soient a et b deux entiers impairs >1, premiers entre eux.
Si x et y sont deux entiers impairs tels que ax+by = 1 alors comment montre-t'on que toute autre solution est de la forme :
x+2kb, y-2ka, k entier relatif.
Posons e = +1 ou -1
Dès lors montrer que a et b (>1) sont premiers entre eux ssi :
1) il existe un unique couple (u,v) de naturels impairs, u<b, v<a tels que au - bv = 2e
2) il existe un unique couple (s,t) de naturels impairs, s<b, t<a tels que bt - as = 4e
Par exemple :
Pour a=3 et b=7
3x3 - 7x1 = 2
7x1 - 3x1 = 4
ou pour a=7 et b=17
7x7 - 17x3 = -2
17 - 7x3 = -4
Euzenius
Soient a et b deux entiers impairs >1, premiers entre eux.
Si x et y sont deux entiers impairs tels que ax+by = 1 alors comment montre-t'on que toute autre solution est de la forme :
x+2kb, y-2ka, k entier relatif.
Posons e = +1 ou -1
Dès lors montrer que a et b (>1) sont premiers entre eux ssi :
1) il existe un unique couple (u,v) de naturels impairs, u<b, v<a tels que au - bv = 2e
2) il existe un unique couple (s,t) de naturels impairs, s<b, t<a tels que bt - as = 4e
Par exemple :
Pour a=3 et b=7
3x3 - 7x1 = 2
7x1 - 3x1 = 4
ou pour a=7 et b=17
7x7 - 17x3 = -2
17 - 7x3 = -4
Euzenius
Réponses
-
On part de quatre entiers impairs a,b,x,y tels que ax+by = 1. Ca commence bien.
-
Oui, bien sûr et ce n'est pas compliqué...
et je devais aussi être un peu à la masse puisque
9 - 5 = 4
9x3 -5x5 =2
sans que cela ne croise nécessairement !
Merci malgré tout.
Euzenius -
Bonsoir,
Juste une petite remarque tant que je suis plongé là dedans.
Si p>q>1 sont deux entiers impairs premiers entre eux alors il existe un unique quadruplet (s,t,u,v) de naturels >0 tels que :
ps - qt =1
qu - pv =1
s+v = q
t+u = p
Le système linéaire 4x4 en s, t, u, v étant évidemment de déterminant nul, on ne peut trouver la solution par inversion matricielle, mais les inégalités s>0, t>0, u>0 et v>0 permettent de garantir l'unicité de la solution (calculable avec l'algorithme d'Euclide étendu).
La matrice 2x2 tirée des deux premières relations en p et q a par contre un déterminant, su-tv, égal à 1 ou -1 (a priori... mais je dis peut-être une stupidité faute d'être allé voir de plus près). Son inverse est à coefficients entiers strictement positifs (en permutant éventuellement p et q) :
u t
v s
(désolé pour le non emploi du Latex mais le 14 juillet on n'est pas là pour se faire engueuler...).
Euzenius -
Dès qu'on a une solution entière (x0,y0) (s'il est existe) de ax+by=1 alors on a toutes les solutions.
Toute solution (x,y) de ax+by=1 est en effet telle que x=x0+p, y=y0+q où (p,q) est une solution de ax+by=0
Il est immédiat que (x0+p,y0+q) est une solution de ax+by=1. En effet:
a(x0+p)+b(y0+q)=ax0+ap+by0+bq=(ax0+by0)+(ap+bq)=1+0=1
ax0+by0=1 puisque (x0,y0) est une solution de ax+by=1
ap+bq=0 puisque (p,q) est une solution de ax+by=0
Réciproquement:
Soient (x0,y0) et (x1,y1) deux solutions de ax+by=1
a(x0-x1)+b(y0-y1)=(ax0+by0)-(ax1+by1)=1-1=0
Puisque (x0,y0),(x1,y1) sont solutions de ax+by=1
Donc (x0-x1,y0-y1) est solution de ax+by=0 -
Parfait,
Merci
Euzenius
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 65 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 344 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 805 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres