Matrices à coefficients dans Q+

euzenius

Bonsoir,

Une question peut-être stupide concernant des systèmes linéaires avec des matrices carrées à coefficients rationnels positifs.

Voilà j'ai un système linéaire AX = Y où tous les y_i sont égaux à 1, tous les x_i sont strictement > 1 et entiers et où la matrice A a tous ses termes positifs ou nuls, les diagonaux et surdiagonaux étant >0, le terme en bas à gauche a_n,1 > 0 et tous les autres sont nuls (donc une matrice très creuse). Je suppose de plus que cette matrice est inversible.

La question bête est : peut-on avoir une autre matrice du même type (pas forcément inversible) B vérifiant.

BX = Y ? (en général cela est bien sûr possible mais dans ce cas particulier il y aurait-il une exception ? Je n'arrive pas à trouver un exemple qui contredit cette exception présumée).

Merci de votre aide.
Euzenius

[Corrigé selon ton indication. AD]

bosio frederic0

Est-ce que ceci convient ?
$$\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{6}& 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4}& 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

euzenius

Merci, c'est très beau !


Bon je vais "légèrement" compliquer le truc :

Les x_i sont entiers impairs >1 et deux à deux premiers entre eux.


(Peut-on alors avoir ne serait-ce que les termes diagonaux tous égaux ?)


Euzenius

bosio frederic0

Non, c'est encore insuffisant. Remarque juste que si les deux matrices ont memes termes diagonaux, elles sont egales.

euzenius

Bonsoir

et merci de l'intérêt pour cette question qui provient d'une constatation que j'avais évoquée sous le terme "Conjecture de la très grande désolation" dans la partie arithmétique voici quelques mois (sans susciter de véritable engouement, mais c'est ainsi...).

Soit P un ensemble de nombres premiers positifs impairs (ou d'entiers impairs >2, 2 à 2 premiers entre eux, hypothèse plus large) de cardinal fini >1.

Pour tout élément p de P on pose :
T_p = P \ {p}
U_p = { produits finis d'éléments de T_p }
V_p = U_p \ T_p (donc ensemble des produits finis avec au moins deux facteurs )
W_p = { p+q / q élément de V_p }

il est conjecturé que l'intersection des W_p pour tous les p de P est vide.

Ainsi en supposant qu'il existerait P tel que cela soit faux (mais vrai pour toute partie non vide de P ditincte de P) on peut ordonner les éléments de P de telle manière que l'on ait un système de la forme mentionnée dans ce post avec des termes diagonaux égaux à 1/c (on peut aussi rester dans le cadre entier).

Si l'on montre que cela n'est pas possible (pour des raisons diverses et variées éventuellement dans un cadre plus général que j'ignore) alors la conjecture serait vraie, mais bon je me doute que cela n'est pas du tout simple bien que j'essaye de cadrer un peu mieux le problème.

Voilà donc les tenants et aboutissants de ce post
Euzenius

[Corrigé selon ton indication. AD