0 exposant 0

matmars0

Quelle est la valeur de 0 exposant 0 ?
Y a-t-il une convention fixant sa valeur à 1 ?
Si oui pour quelles raisons ?
Si non, pourquoi ?
Merci

GERARD

Bonjour.

Ce sujet a fait l'objet d'un très long débat il y a deux trois ans sur le forum. je te laisse chercher (rubrique "chercher", probablement 0 puissance 0).
Ma conclusion : Il n'y a pas de convention unanime (problèmes de cohérence en particulier avec les limites), mais la plupart des domaines permettent d'utiliser la convention 0⁰=1 sans ennui.

Cordialement

jobherzt

Pour compléter la réponse de Gérard : le probleme, c'est qu'il existe beaucoup de definition de $a^b$ plus ou moins adaptée suivant les cas.

Dans la plupart de ces definition, la valeur $0^0$ ne rentre pas dans le cadre de la définition, mais pour des raisons propre a chaque situation (prolongement par continuité, coherence avec des regles de calculs..) poser $0^0=1$ est souvent la solution "la plus pratique".

Il n'existe a ma connaissance qu'une seule definition de $a^b$ pour les entiers naturels qui donne directement un sens à $0^0$ : on definit $a^b$ comme étant le cardinal de l'ensemble des applications de $F$ dans $E$ ou $E$ est un ensemble de cardinal $a$ et $F$ un ensemble de cardinal $b$. Dans ce cas $0^0$ est egal au nombre d'application de l'ensemble vide dans l'ensemble vide, cad 1.

JJ

Bonjour matmars,

Les avis donnés par Gérard et Jobhertz sont en accord avec l'article "Zéro puissance zéro" qui a été publié dans le magazine Quadrature n°66 (octobre 2007).
La version mise à jour de cet article est maintenant accessible sur le net par le lien suivant :
http://www.scribd.com/people/documents/10794575-jjacquelin
Ensuite, dans la liste, sélectionner la ligne : "Zero puissance zero"

Michael Tamer

Depuis pas longtemps j'est entendu que 0^0 est une forme indeterminee. Personnellement, j'etait surpris, j'avais cru que 0^0=1, mais j'ai trouve enfin une methode qui assure que 0^0 est une forme indeterminee.
Premierement, parlons en general, nous pouvous dire que X^n = [X^(n+1)]/X.
Si X=2 et n=2 : 2^2 = 2^3/2 = 8/2 = 4
Si X=2 et n=0 : 2^0 = 2^1/2 = 2/2 = 1 pour cela n'importe quel nombre avec l'exposant 0, donne 1.
Mais si X=0 et n=0 : 0^0 = 0^1/0 = 0/0 qui est une forme determinee.

Bruno

Bonjour Michael.

Il ne faut pas confondre la limite en $x_0$ de la fonction $u^v$ qui n'est pas déterminée par les théorèmes élémentaires sur les limites lorsque $\lim\limits_{x\to x_0}u(x) = \lim\limits_{x\to x_0}v(x) = 0$ qui peut ne pas exister ou prendre n’importe quelle valeur réelle ; avec le cardinal $0^0$ qui est le nombre d'applications de l'ensemble vide dans lui-même et qui vaut $1$ car il existe une unique application de l'ensemble vide dans lui-même.

Il suffit de savoir de quoi l'on parle.

Bruno

P.S. Tout le reste n'est que littérature confusionnelle.

ev

D'accord avec toi Mick,

puisqu'écrire en mathématiques qu'une forme est indéterminée est un aveu d'ignorance.
C'est ce que dit Bruno : On ne risque pas de répondre à une question tant qu'on ne sait pas de quoi on parle.

e.v.

breukin

car il existe une unique application de l'ensemble vide dans lui-même

Pour faire l'avocat du diable : laquelle ? exhibez-la !
On pourrait rétorquer que si on ne sait pas trouver d'élément appartenant à l'ensemble vide, on serait bien en peine de construire une association de cet élément qui n'existe pas vers quelque chose qui n'existe pas plus, anéantissant l'existence même d'une possible application. Une sorte de "bon sens" autoriserait donc à penser qu'il n'existe aucune application de l'ensemble vide dans lui-même.
Je répète que je me fais l'avocat du diable.

Bruno

A une question malicieuse, je réponds par une autre question : "Comment définit-on formellement une application d'un ensemble dans un autre ?"

Bruno

P.S. Il suffit d'ouvrir un cours de L1 pour avoir la réponse ; voir le cours d'algèbre de Godement pour ne citer qu'un classique

christophe c

Une sorte de "bon sens" autoriserait donc à penser qu'il n'existe aucune application de l'ensemble vide dans lui-même.

Mouais, j'ai bien lu que tu te fais l'avocat du diable, mais au nom du même "bon sens" que tu mentionnes, on devrait ne pas avoir $\emptyset \subseteq \emptyset$

JJ

Puiqu'on parle içi d'avocat du diable, je dis :
" Diable ! il fut un temps lointain où le sujet de discussion était le sexe des anges." X:-(

Ce qui ne change pas, ce sont les réaparitions du Monstre du Power Less...

Bruno

Alors Monsieur l'Avocat du Diable, on ne veut pas répondre ? Vous cherchiez à me piéger en ergotant sur les définitions que j'utiliserai ?

Bonne continuation, le Diable me semble devoir se faire du souci contrairement à celui de Jacques Brel (...des trains déraillent avec fracas parce que des gars plein d'idéal posent des bombes sur les voies, ça fait des morts originales, ça fait des morts sans confession, des confessions sans rémissions... Ca va !)

Bruno

breukin

Non, on a le droit d'être en week-end, et je n'ai pas programmé d'alerte quand un nouveau message est ajouté à la discussion.
Et je ne cherchais pas à piéger.
Ce que je voulais dire, c'est que "car il existe une unique application de l'ensemble vide vers l'ensemble vide" ne s'auto-suffit pas, c'est justement le formalisme de ce qu'est une application d'un ensemble vers un autre qui permet de l'affirmer. D'où la bonne question posée en retour de mon message.
Sans ce formalisme, un esprit naïf qui s'en tiendrait au langage courant pourrait spontanément penser qu'il n'en existe pas, et donc pourrait arriver à la conclusion apparemment logique pour lui $ 0^0=0 $. Il ne suffit donc pas de dire qu'il en existe une et une seule. Il faut en expliquer la raison profonde. C'était le sens de mon "avocat du diable".

christophe c

Sans ce formalisme, un esprit naïf qui s'en tiendrait au langage courant pourrait spontanément penser qu'il n'en existe pas

je ne vois pas ce que le langage courant définit comme étant "une application de E dans F" or pour penser qu'il n'en existe pas, il faut que ledit langage courant ait quand-même une "vision" du sens du mot.

Ensuite, je ne vois pas en quoi le langage courant imposerait qu'une notion "le toto de (E,F)" une fois particularisé à $(\emptyset, \emptyset)$ soit tourjours telle que $toto(\emptyset, \emptyset) = \emptyset$.

Finalement, dans ta démarche poil à gratter tu me fais penser aux gens qui racontent, puis donnent une solution fausse à l'énigme bien connue (*****) en essayant de "donner une réalité" à une erreur qui n'est qu'une simple erreur psychologique

L'addiction au caractère poétique (ou harmonieux ou je ne sais quoi) de début d'une histoire = fin d'une histoire qui n'est qu'une addiction "artistique" ne se justifie pas. Pas plus que $\forall toto: toto(\emptyset, \emptyset ) = \emptyset$.

*****bon, je me dépèche, j'ai la flemme de bien raconter l'histoire: [size=x-small] trois étudiants sont perdus dans la forêt, ils avisent au loin une auberge. Ils sonnent à la porte, "c'est combien la chambre". "30 euros" dit la patronne. Ok (ils font un peu la gueule, c'est cher). ils paient et montent avec leurs sacs à dos. La patronne culpabilise appelle une servante et lui dit "tiens, je leur fais une remise de 5E monte-leur". La servante, dans l'escalier se dit "ils vont se battre 5E c'est pénible à divise en 3. Je vais garder 2 E et leur rendre chacun 1E. Ce qu'elle fait en allant voir chacun personnellement et en lui filant la pièce. Le lendemain, les étudiants retournés dans la forêt se disent: "vous avez vu: chacun de nous a payé finalement 9E sa part". Donc en fait, 9×3 = 27. si on ajoute à ça les 2 euros que la serveuse a gardés, ça donne 29E et non pas 30E[/size]

A la fin de cette histoire on ajoute "où est passé l'euro qui manque?" et y a toujours des imbéciles qui après avoir froncé les sourcils disent "ah mais non, le calcul est mauvais blabla (et de refaire le calcul en chageant telle addition en soustraction etc)"

christophe c

Bon j'ai essayé de faire un edit, mais j'ai trop attendu, le forum a l'air de ramer. pardon bien sûr pour l'utilisation de certains mots, j'écris tout ça très vite et en souriant bien entendu, personne n'est "imbécile" ou etc, je qualifie juste pour aller vite des "positions d'etablissement"** ainsi pour marquer le contraste (je voulais éditer pour refaire un peu le post, ce n'est pas du tout mon style d'utiliser un ton "violent" et ça ne traduit pas du tout mon état d'esprit)

** genre "oulala, c'est toi qui dois faire la vaisselle t'as perdu" ça va pas plus loin

ev

Bonjour.

Je trouve l'objection de Breukin parfaitement fondée, dans la mesure où elle ne me serait pas venue à l'idée !

Ce n'est qu'en secouant le cocotier qu'on a une chance de voir tomber les singes.
(proverbe inuit)

Bonne journée à tous.

e.v.

christophe c

Elle est fondée sur ce qu'elle raconte. Elle raconte des addictions psychologiques à des énoncés faux (comme par exemple $\forall f\in \R^\R: f(0)=0$)

gerard0

Tiens ! Christophe, tu es devenu extra-lucide ?

Tu devines ce qu'il y a dans la tête des autres ?
Pour cette question, il y a bien dans la tête de beaucoup (*) une idée qui n'est pas la tienne (ce qui fait que tu ne comprends pas) sur la notion d'application, vue comme une fonction donc intuitivement une idée d'association : En français, "en fonction de" ou "c'est fonction de" nécessite un complément qui soit un élément qui existe. D'où l'incompréhension de certains (y compris pas mal de profs de maths) quand on parle d'une "application de l'ensemble vide dans ...".
Le fait que tu ne comprennes pas ça (ta pensée fonctionne autrement) fait que tu attaques Breukin sur un terrain qui lui paraît idiot. Finalement, non : Tu n'es pas extra-lucide.

Très cordialement.

(*) de ceux qui connaissent le mot mathématique "application".

breukin

Voilà quelle pourrait être la pensée naïve d'un débutant qui se fierait au langage naturel : une application "est" quelque chose qui associe à un élément de l'ensemble de départ un élément de l'ensemble d'arrivée, et comme il n'existe pas d'élément dans l'ensemble vide, "donc" il n'y a pas d'application puisque pas d'association possible. Les guillemets sont là pour pointer les erreurs de la pensée naïve.
Je voudrais bien voir un sondage au collège voire au lycée pour connaître la statistique de la réponse à cette question du nombre d'application de l'ensemble vide vers lui-même. J'ai la faiblesse de penser que cette pensée naïve conduisant à répondre 0 existe bel et bien.
Mais si vous avez des données permettant de me rassurer, tant mieux.
Et sinon, alors je maintiens que pour les néophytes, terminer le raisonnement par simplement dire "car il n'existe qu'une seule application de l'ensemble vide vers lui-même" sans en justifier la raison, risque de leur faire penser (aux néophytes) qu'on les entourloupe (ce qui n'est pas le cas), et qu'on ne leur donne pas une bonne justification du 0^0=1.

Bruno

Bonjour breukin.

Chacun ayant droit à des absences, c'est à mon tour de prendre du retard. Je reconnais que ma réponse était très lapidaire. Ma seule excuse c'est que cela doit bien faire la quinzième fois au moins que je réponds à cette question en dix ans de présence sur le forum. Je te présente mes excuses pour t'avoir injustement soupçonné d'activité trollesque. Quant à poser la question de $0^0$ au niveau de l'enseignement secondaire, je pense que tout dépend des conditions dans lesquelles on est amené à soulever ce problème. De toutes façons je n'ai jamais enseigné à ce niveau et je sais pertinemment que c'est une expérience qui m'a manquée.

Bruno

christophe c

@Gérard et Breukin. L'argument (certes non math et revendiqué comme tel) est justement l'argument auquel j'ai répondu en le qualifiant de psychologique. Je n'ai pas nié que l'erreur est faisable (bien au contraire!!! J'ai même raconté un truc "célèbre" où la même est faite), j'ai juste dit que quand elle est faite elle est à classer dans la catégorie "psychologique".

Par ailleurs, c'est un point oserais-je dire (pour un serpent de mer pareil) extrêmement intéressant, et pour répondre (ou tenter de) à Breukin (de manière indirecte) sur la perception débutante (collège, lycée, etc) on retrouve la "subtilité" que l'inexistence d'un argument entraine qu'on a infailliblement réussi à lui associer quelque chose. Autrement dit, c'est l'éternel retour du "faux = tout" ie du "faux => n'importe quoi" que j'essaie depuis des années de publiciter sur le forum avec mon répétitif "tout" que je substitue au "faux" le plus possible. Concrêtement, je vous suis tout à fait psychologiquement et sociologiquement puisque j'ai enseigné l'informatique à tous les niveaux (collège jusqu'à fac) et presque systématiquement constaté par dessus l'épaule de 3/4 des élèves que l'erreur est faite: ie quand il doivent programmer un "il existe" ils initialisent un "true" avant, après froncement long des sourcils, de le changer (et on dirait presque la mort dans l'âme) en "false" pour certains, et pour programmer un "pour tout", ils initialisant un "false" avant idem de corriger en mettant un "true".

[size=x-small]@Gérard, puisque tu évoques les fonctions, l'échec à construire une fonction quelque soit le sens qu'on donne à ce mot survient quand, ayant une valeur, (tu es le testé), tu n'arrives pas à sortir son image. (Ceci dit pour faire écho à ton En français, "en fonction de" ou "c'est fonction de" nécessite un complément ***** qui soit un élément qui existe). Encore quelques exemples et tu vas finir par "deviner" que la correspondance de Curry Howard a "découvert" que le type du nom d'un objet est ... la négation du type de l'objet

***** nécessite un complément de type pointeur sur A qui existe (et dans "Paris existe", le sujet du verbe exister est le même que dans "Paris a 5 lettres" et non le même que dans "Paris est une grande ville" ***)

*** cette erreur faite généralement n'est pas "indigne" puisqu'elle a été commise par bien des gens (qui avaient certes envie de la commettre) dans "Dieu existe sinon il aurait le défaut de ne pas exister or "ne pas exister" est un défaut[/size]

Philippe Malot

A ce compte là, si on dénombre des fonctions pour expliquer les puissances, on a le même problème (l'application vide) avec $n^0$, où $n$ est un entier naturel non nul, ce qui correspond au nombre d'applications de l'ensemble vide dans un ensemble à $n$ éléments. On n'en parle évidemment pas dans un cours de collège ou de lycée.

christophe c

Euu Philippe: ce n'est pas un problème. Comme l'a dit Beukin, il a "joué au diable" (et Gérard s'y est joint). C'était une occasion de commenter les cartes postales en provenance des addictions linguisitiques populaires.

Bruno

les cartes postales en provenance des addictions linguisitiques populaires.

Faudra que je m'en souvienne pour la ressortir celle-là !

Bruno

christophe c

On peut aussi s'amuser à regarder ce qu'en dit le lambda calcul. La notion de puissance y est juste incarnée par celle d'application, ie $x^y:=y (x)$.

La multiplication (non commutative) en général (seule sa restriction à ceci ou cela peut l'être) est la composition. La somme est l'objet $s$ défini par $s(x)(y)(z)(t) := x(z)(y(z)(t))$, ie $s(x)(y)(z) := [x(z) ]\circ [y(z)]$. Le $1$ est l'identité, $id(x):=x$ et le $0$ est la fonction constante $c(x):=id$.
Sous ces hypothèses, on obtient que $0^0 := c(c) =id = 1$ et on obtient en fait que $x^0 = c(x)=id=1$.

christophe c

Pour info, pour celles et ceux disposant de caml, ça prend 10 secondes et vous donne les "types" (priorité des parenthèses à droite et voyez les types comme des ensembles et les opérations comme des fonctions naturelles). Par ailleurs ce sont des théorèmes intuitionnistes (donc en particulier des tautologies) quand on regarde la flèche comme disant "implique"

# let s x y z t = x z (y z t);;
val s : ('a -> 'b -> 'c) -> ('a -> 'd -> 'b) -> 'a -> 'd -> 'c
# let m x y z = x ( y z) ;;
val m : ('a -> 'b) -> ('c -> 'a) -> 'c -> 'b
# let id x= x;;
val id : 'a -> 'a
# let pui x y = x y;;
val pui : ('a -> 'b) -> 'a -> 'b
# let cst0 x=id;;
val cst0 : 'a -> 'b -> 'b

le type le moins célèbe est celui de la somme: ('a -> 'b -> 'c) -> ('a -> 'd -> 'b) -> 'a -> 'd -> 'c

youserseef

Michael Tamer a écrit:

Mais si X=0 et n=0 : 0^0 = 0^1/0 = 0/0 qui est une forme determinee.

écrire X^n = [X^(n+1)]/X. : cela veut dire qu'on ne peut pas prendre X=0 car divisé par zéro est plus que "tabou" en maths
hein?

sphinx

dire $0^0 = 1$ n'a aucun sens en soit il faut préciser le sujet et dans le corps des réels je peux tres bien dire que:
$a^b=u^{b.log_ua}$ avec u est un réel strictement positif non égal à 1 et dans ce cas si je dit ça alors $0^0$ n'a pas de solution réelle car $log_u0}$ n'en a pas non plus
il faut alors definir le pourquoi du comment et c'est ainsi que

Et là j'en arrive à la conclusion qui tue:
$2^{ab}-1$est le nombre de relations distinctes que l'on peut énumerer entre deux ensembles de cardinaux a et b
c'est ainsi que le nombre de relations possibles entre deux ensembles vides est nul
par consequent le nombre d'applications entre deux ensembles de A vers B de cardinaux respectifs a et b et qui est donné par $b^a$
ne donne pas 1 pour deux ensembles vides car on viens de voir que la quantitée de relations quels qu'elles soient entre deux ensembles vides est nulle

par conséquent dans l'un comme dans l'autre cas $0^0 $ n'a pas de solution
mais il existe sûrement des algebres où cela est possible mais pas dans les deux cas ici et infirme ce que vous avez dit à propos des applications entre deux ensembles vides
désolé mais là y a pas de discution possibles

sphinx

ev

sphinx a écrit:

désolé mais là y a pas de discution (sic) possibles (re-sic)

Comme quoi, et comme dirait Cidrolin, un sectaire peut se prendre pour un sphynx.

amicalement,

e.v.

sphinx

la discution est possible mais alors sur d'autres exemples
pas ici car si a! designe le nombre de bijections entre deux ensemble de cardinaux a
alors 0!=1 donc sur un ensemble vide on pourrait à la limite denombrer une bijection
mais c'est logiquement absurde
par contre il est possible d'enumerer une bijection entre l'ensemble de toutes les parties de deux ensembles vides puisque leurs cardinal sera 1 l'element etant l'ensemble vide et là c'est logique non?

pldx1

Bonjour,

le prétendu sphinx a écrit:

désolé mais là y a pas de discution possibles

Ce n'est rien de le dire.

Pierre.

ev

Bon. Personne ne pourra dire que je n'aurais pas essayé.

Selon toi Sphynx, quel est l'ensemble de toutes les parties de $\emptyset\times\emptyset$ ?

e.v.

[Si je pose des questions à un sphynx, c'est qu'il y a quelque chose de pourri dans le royaume de Thèbes]

sphinx

tiens c'est vrai ça!
normalement on pose jamais de question à un sphinx
bon alors selon moi:l'ensemble de toutes les parties de ØXØ est l'ensemble {Ø} cet ensemble est un singleton dont l'element est Ø

par contre:
l'ensemble des elements de P(Ø)XP(Ø) est l'ensemble {(Ø,Ø)} car tu prend l'element unique de l'ensemble de toutes les parties d'un ensemble vide
donc l'ensemble de toutes les parties de P(Ø)XP(Ø) est l'ensemble {Ø,(Ø,Ø)} cet ensemble là a donc deux elements
pourquoi cette question?

ev

D'abord, je ne suis pas d'accord avec ton égalité : $\emptyset\times\emptyset$ est l'ensemble $\{\emptyset\}$.

Elle se traduirait en termes de nombres d'éléments par $0\times0 = 1$ ce qui fait un peu désordre, non ?

e.v.

Meu

Tu as mal lu, ev !
Un fil où on parle d'ensemble vide... je résiste à la tentation, et je vais sagement me coucher.

ev

Rah oui j'ai très mal lu, je commence à cogner des clous. Merci Meu.

Pouf pouf, je reprends.

Tout d'un coup, je suis d'accord avec : L'ensemble de toutes les parties de $ \emptyset\times\emptyset$ est l'ensemble $ \{\emptyset\}$.

Pourquoi cette question ?
Parce que le graphe d'une application de $A$ vers $B$ est une partie $\Gamma$ de $A\times B$. Pour être le graphe d'une application, $\Gamma$ doit vérifier :
pour tout élément $x$ de $A$, il existe un unique $y$ de $B$ tel que $(x,y)$ appartient à $\Gamma$.

Ma deuxième question : l'unique partie $\Gamma$ de $ \emptyset\times\emptyset$ est-elle le graphe d'une application, donc de $\emptyset$ vers $\emptyset$.

Si ça n'était pas le cas, peux-tu me trouver un élement $x$ de $A = \emptyset$ pour lequel soit il n'existe pas de $y$ dans $B = \emptyset$ pour lequel $(x,y)$ appartient à $\Gamma$, soit il en existe plusieurs ?

e.v.

sphinx

ev n'oublie pas que tu est en train de tout melanger
tu dit "elle se traduirait terme de nombres d'elements par ..."
écoute le sphinx s'il te plait:
si je dit que l'ensemble de toutes les parties de ØXØ est l'ensemble {Ø} cela signifie donc qu'il n'existe pas d'elements dans l'ensemble définit par le produit cartesien ØXØ tu as mal traduit car cela signifie l'ensemble vide donc de cardinal zero
en terme d'elements ça se traduit par rien du tout autrement dit rien!
relis ce que j'ai dit tu verra!
un sphinx ça sert aussi à ça!
crois moi crois moi le sphinx est le seul element non pourri dans le royaume de thèbes crois moi crois moi mon ami:D

ev

J'aurais essayé.

e.v.

sphinx

ah pardon peut tu me reposer ta deuxieme question?
je n'ai pas compris peut tu me la formuler autrement car je comprend pas ce que tu entend en disant partie de $\Gamma$
au fait as tu lu mon dernier post?
on en arrive à la même conclusion sauf que je comprend rien quand tu dit partie de $\Gamma$
je vais te relire c'est peut être la fatigue car bon là c'est encore mon faible niveau

Bruno

Parlons uniquement de cardinaux. Si je comprends bien sphinx est d'accord sur les égalités suivantes :
\[\begin{array}{c}
\varnothing \times \varnothing = \varnothing \\
\mathfrak P(\varnothing \times \varnothing) = \mathfrak P(\varnothing) = \{\varnothing\}
\end{array}\]
Conclusion, il existe un unique graphe (ou une unique relation binaire entre $\varnothing$ et lui-même), c'est le graphe vide. Il ne reste plus qu'à déterminer les propriétés de ce graphe:
\begin{enumerate}
\item ce graphe, appelons-le $\Gamma$, est-il fonctionnel ? Autrement dit, vérifie-t-il la propriété [\forall\,x \bigg(x \in \varnothing\Longrightarrow \Big(\big(\exists\,y\ \exists\,y'\ y \in \varnothing \textrm{ et } y' \in \varnothing \textrm{ et } (x,y) \in \Gamma \textrm{ et }(x,y') \in \Gamma\big) \Longrightarrow y = y' \Big)\bigg)\]La réponse est \og\ oui \fg\ puisque la formule est du type $\forall\,x \big( p(x) \Longrightarrow q(x)\big)$ et que la prémisse $x \in \varnothing$ est fausse.
\item on vérifie que, pour des raisons analogues, le graphe $\Gamma = \varnothing$ satisfait aux axiomes des bijections.
\end{enumerate}
Il s'ensuit que l'ensemble des bijections de $\varnothing$ sur lui-même possède un unique élément. D'où l'on conclut que, du point de vue des cardinaux on a $0^0 = 1$. \textbf{Comme je le rappelais dans ma première intervention (voir là), ceci n'a rien à voir avec des problèmes de limites.}

Bruno

sphinx

je viens de comprendre mon erreur!
j'aurais dut me mefier en refusant de penser au graphe
et evidemment pour ici il s'agit du graphe vide
je vais reprendre mes cours...je vois mes lacunes
merci bruno

pancarte0

pourquoi ne pas étudier la limite de x^x = e^{x lnx} quand x tend vers 0 (limite qui tend donc vers 1) puis prolonger par continuité ?

Magnolia

Bonjour pancarte

Pourquoi CETTE fonction? $x^{1/\ln(x)}$ est aussi du genre $0^0$ mais tend vers $e$. (Même qu'elle est constante de valeur $e$)

D. Hilbert

D'après le collectif Bourbaki :

Proposition 11 : Soit $\frak{a}$ un cardinal. On a $\frak{a}^0=1$, $\frak{a}^1=\frak{a}$, $1^{\frak{a}}=1$ ; si $\frak{a}\neq 0$, on a $0^{\frak{a}}=0$.

En effet, il existe une application et une seule de $\emptyset$ dans un ensemble quelconque (l'application de graphe vide) [s'inspirer de la démo de Bruno !] ; l'ensemble des applications d'un ensemble à un seul élément dans un ensemble quelconque $X$ est équipotent à $X$ (...) ; il existe une application et une seule d'un ensemble quelconque dans un ensemble à un élément ; enfin, il n'existe aucune application d'un ensemble non vide dans $\emptyset$.

On notera en particulier que l'on a $0^0=1$.

Fin de citation !

A +

pancarte0

Bonjour Magnolia,
en effet ...

mais l'étude de x^x me paraissait plus naturelle que x^1/Ln(x) dans notre cas présent...!
enfin moi ce que j'en dis

fourdu

Si l'on considère la définition de l'exp complexe comme somme d'une série entière $\exp(z)=\displaystyle { \sum_{n=0}^{\infty}} \dfrac{z^n}{n!}$, on est bien obligé que $0^0=1$ et pas autre chose, je me trompe?

diego

bonjour

On voit bien que $exp(0)=e^0=1$ mais après? Tu poses $e=0?$

D. Hilbert

Vous me fatiguez ! Vous vous posez des questions auxquelles certains ont déjà apporté des réponses claires. Je pense en particulier à Bruno qui s'est fatigué à rédiger son beau message en page 2. Il faut seulement savoir lire !

A +

fourdu

$\exp(0)=\displaystyle { \sum_{n=0}^{\infty}} \dfrac{0^n}{n!}=\dfrac{0^0}{0!}+\displaystyle { \sum_{n=1}^{\infty}} \dfrac{0^n}{n!}$,

Raymond Cordier

Bonsoir.
Il me semble avoir vu quelque part sur "Les mathématiques.net" un texte concernant 0^0 (0 puissance 0), mais je n'arrive pas à le retrouver. Quelqu'un peut-il m'aider ? Merci.
RC

bs

Bonjour,

Souvenir...

Amicalement.