Fleurs de Lindgren

chephip

Bonjour,

Le problème suivant est issu des "fleurs de Lindgren", dissection
géométrique d'une "fleur" en cercle.
J'ai trouvé ce problème aux détours d'un site taiwanais
sans explications (auraient été de toute façon illisibles) à part que le problème est issu d'un livre de H. Lindgren.

pappus

$\widehat {DEO} = \dfrac 1 2\widehat {DAO} = \widehat{ABD}$
$\widehat{EDF} = \widehat{DEF} = 2\widehat{DEO} = \widehat{ABD}$
Amicalement
Pappus

chephip

Bonjour Pappus,

$\widehat {DEO} = \dfrac 1 2\widehat {DAO} = \widehat{ABD}$

Euh... là tu as fait très fort !
Tu viens de démontrer que le triangle BEO est isocèle et que OB = OE !!

Même si tu voulais dire $\widehat {DAO} = \widehat{ABD}$ et donc au final $\widehat {DEO} = \dfrac 1 2\widehat{ABD}$
cela est faux car ABD n'est pas plus isocèle.

$\widehat{EDF} = \widehat{DEF} = etc.$

Celle là est du même tonneau : EDF isocèle etc.

Une grosse fatigue en fin d'année scolaire ?

Si, si, le pb résiste...

Amicalement.

pappus

T'as raison, Chephip, le vieux Pappus est très fatigué!
Il est temps que j'arrête pour cette année!
Amicalement
Pappus

pappus

Après les angles qui ne marchent pas, essayons les distances.

chephip

Bonjour Pappus,

"J'aime pas trop ma démo car il y a trop de géométrie contemplative"

Elle me convient... J'avais bien pensé au rapport des côtés dans un triangle avec les bisectrices,
mais n'avais pas "vu" que EC était la bisectrice extérieure, et permettait ainsi d'évaluer OI/OB

Entretemps sur un forum Allemand, Klaus Nagel a trouvé la jolie démonstration suivante
D'accord, sans doute un peu trop "contemplative" à ton gôut...

Posons $\alpha = \widehat {PBA}$ et $\theta = \widehat {BEO}$
alors
$\widehat {AOP} = 2 \alpha$ (angles inscrits)
$\widehat {BPO} = \alpha$ (triangle BPO isocèle)
$\widehat {EOP} = \alpha - \theta$ (somme des angles dans le triangle EPO)
$\widehat {FOA} = \widehat {AOP} - 2 \widehat {EOP} = 2 \alpha - 2(\alpha - \theta) = 2 \theta$

Par ailleurs
$\widehat {DAO} = 2 \widehat {DEO} = 2 \theta$ (angles inscrits)

et donc $\widehat {FOA} = \widehat {DAO}$ et les distances de D et F à la droite OA sont égales.

Je n'avais pas vu ces angles là non plus :-(

Amicalement.
Philippe

Buffon

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