Changement de variables général

raphayel

Bonjour
En fait c'est plus une question de théorie de la mesure.
Je cherche à savoir si la formule suivante est vraie:
Pour toute mesure $\mu$ sur un espace measurable $A$, et toute fonction $f$ de $A$ vers un autre espace mesuré
$\int_B f(z) d \mu(z) = \int_{f(B)} y d (\mu f^{-1})(y)$. ($\mu f^{-1}$ est la mesure image). Ca marche sur $R^n$ avec une fonction de jacobien non-nul, mais dans le cas général?
Ca se trouve surement dans tout bon livre de théorie de la mesure mais je n'en ai pas sous la main.

egoroff

Salut,

Oui c'est vrai (en tous cas pour $\mu$ $\sigma$-finie) et ça s'appelle le théorème de transfert, en tous cas en probas. Plus généralement si $f \, : \, E \to F$ est une application mesurable et $h$ une fonction mesurable sur $F$ à valeurs dans $\R$, alors $\int_E h(f(z)) \,d\mu(z)=\int_F h(y) \, d(\mu f^{-1})(y)$ toutes les fois qu'une des deux intégrales existe. Par contre la notation $\mu f^{-1}$ n'est pas hyper standard, à la limite $\mu \circ f^{-1}$, $f(\mu)$ ou $f_*\mu$ (pushforward).