Automorphismes d'un corps local

Eric Chopin

Bonsoir,

Pour moi qui suis un peu ignare en théorie des nombres, j'aurais voulu savoir ce qu'on sait de la structure des automorphismes d'un corps local, et en particulier d'une extension finie de $Q_p$.
J'entends par automorphismes, automorphismes du groupe additif qui sous-tend le corps local.

Quelqu'un peut-il me brosser les grandes lignes de ce qu'on sait dessus, ou me renvoyer sur une ressource (accessible sur le net de préférence), sinon un bouquin traitant du sujet ?
Notamment que sait-on des générateurs éventuels de ce groupe, dans quels cas est-il abélien, quelles relations avec un éventuel groupe de Galois, est-il toujours localement compact etc..

Merci d'avance,
A+
eric

Eric Chopin

Pour préciser un peu ma question, je m'intéresse à des automorphismes continus et
je me demande s'il est débile d'écrire que si $K$ est mon extension de $Q_p$ alors
$Aut(K)$ est isomorphe à $Aut(Q_p) \times Aut(K/Q_p)$, auquel cas on
a déjà $Aut(Q_p) = GL_1(Q_p)$ c-à-d les multiplications par des constantes non nulles.
Reste alors à déterminer la structure de $Aut(K/Q_p)$. A-t-on le même genre de résultats
pour $Aut(K/Q_p)$ que pour un corps de nombres (propriétés des extensions galoisiennes,
si extension abélienne elle est engendrée par le Frobenius etc ...) ?

Merci d'avance,

Eric

PB

Le groupe additif d'une extension finie $K/\mathbf Q_p$ est de la forme $\mathbf Q_p^n$ où $n$ est le degré de l'extension. Donc on cherche les automorphismes continus du groupe additif $(\mathbf Q_p^n,+)$. Je ne vois pas bien ce que la question a à voir avec les extension du corps $\mathbf Q_p$, mais ai-je bien compris la question ?

Question de notation : $Aut(K/Q_p)$ ça signifie les applications bijectives $\mathbf Q_p$-linéaires de $K$ dans $K$ ? (j'ai un doute parce que d'habitude c'est plutôt les automorphismes de l'extension de corps).

PB

Finalement, j'ai envie de dire qu'un automorphisme continu du groupe additif $(\mathbf Q_p^n,+)$ est toujours $\mathbf Q_p$-linéaire. Donc le groupe des automorphismes continus de $(\mathbf Q_p^n,+)$ est le groupe de matrices $\mathrm{Gl}_n(\mathbf Q_p)$. Mes excuses par avance si c'est une bêtise (car, ne voyant toujours pas le rapport avec les extensions de $\mathbf Q_p$, je me dis que je n'ai rien compris à la question).

Eric Chopin

Oui tu as raison PB, de la facon dont je pose la question
la notion de corps et d'extension n'intervient pas.
L'idée c'est de comprendre une integrale sur le groupe des elements inversibles
de K, et de voir si une telle integrale s'ecrit comme une integrale sur le groupe
des automorphismes du groupe (K,+) mais ta remarque me fait penser que
c'est plus subtil que ca. J'essaie en effet de re-ecrire les fonctions L d'Artin (locales)
comme des integrales à la facon de Tate, n'ayant pas trouvé ce genre de correspondance
sur le web.

A+

eric

Eric Chopin

Je reformule ma question de facon plus simple. Si je prend
un element non nul $\alpha$ d'une extension finie $K$ de $Q_p$,
alors $x\mapsto \alpha x$ est un automorphisme du groupe
additif $(K,+)$, qui peut donc s'ecrire matriciellement
comme élément de $GL_n(Q_p)$. Ma question est: reciproquement,
qu'est-ce qui caracterise dans $GL_n(Q_p)$ les morphismes $M$
qui peuvent s'ecrire sous la forme $x\mapsto \alpha x$ avec $\alpha \in K$?

Merci,

eric
ps: j'ajoute que ma question s'appliquerait aussi a une extension de $Q$ mais
en l'occurence c'est $Q_p$ qui m'interesse.

Mauricio

Salut Eric,
est-ce que ce ne sont pas tout simplement les morphismes dont les valeurs propres sont conjuguées par le groupe de Galois? (au hasard...)
M.

Eric Chopin

Salut Mauricio et merci pour ta réponse,
En fait je viens de m'apercevoir que la réponse est finalement très simple.
Si on note $m_x$ le morphisme $y\mapsto xy$ et $M_x$ la matrice correspondante dans $M_n(Q_p)$, il suffit de prendre une base $e_i$ de l'extension et de considérer l'espace vectoriel
engendré par les $M_{e_i}$.
Tout élément non nul de ce sous espace vectoriel est de la forme $M_x$ et se doit d'être inversible (la réciproque étant naturellement vraie).
On peut en fait le vérifier sur des exemples simples comme $Q(\sqrt{2})$ en prenant $1$ et $\sqrt{2}$ comme base, les éléments non nuls de la forme
$$
\left(
\begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array}
\right)
$$
sont bien inversibles et correspondent à $m_{a+b\sqrt{2}}$
Ou encore dans $C = R(i)$ avec la base $1,i$ les matrices de la forme
$$
\left(
\begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array}
\right)
$$
correspondent à $m_{a+ib}$ et sont bien inversibles pour $a+ib$ non nul.
Ca me rassure car n'ayant fait aucune hypothèse sur la nature galoisienne de l'extension je me demandais comment un groupe de Galois pouvais intervenir.

Merci encore,
A+
eric

Mauricio

Re-salut,
dans ton premier exemple, il me que ta matrice a des valeurs propres de la forme $a \pm b \sqrt 2$ et dans le deuxième cas deux nombres complexes conjugués (action du groupe de Galois etc..).
M.

Eric Chopin

Disons que si un action d'un groupe de Galois intervient, ca doit
etre d'une cloture algebrique du corps de base car ici je ne fais
pas l'hypothèse que l'extension soit galoisienne. Mais c'est peut-etre en
effet a creuser.

Merci,

eric