Lemme de Zorn et ensemble vide

Bonsoir,
Il me semble que le lemme de Zorn écrite sous sa forme la plus rencontrée : "tout ensemble inductif a un élément maximal" soit faux pour l'ensemble vide !
Je ne trouve que rarement la mention "non vide" qui figure d'ailleurs le plus souvent entre parenthèses.

Pourquoi ?
Quand a-t-on écarté l'ensemble vide et pourquoi ne le dit-on pas ?
Ou alors ce serait vrai pour l'ensemble vide ? Quand même pas ...

Ed.

Réponses

  • edouardo: c'est parce que l'ensemble vide n'est pas inductif.
  • Ah bon ! mais pourquoi donc ? Il me semble au contraire que puisqu'il ne posséde pas de chaine (ou de partie totalement ordonnée) il est par défaut bien inductif n'est-ce pas ?

    Ed
  • Je veux bien te croire si tu me trouves un majorant de la partie constituée par l'ensemble vide lui-même.
  • Oui merci. Pour la définition d'ensemble inductif par : toute partie totalement ordonnée est majorée, c'est bon.
    Il se trouve que j'avais la définition suivante dans un bouquin : toute chaine est majorée, avec pour définition d'une chaîne: une famille non vide d'éléments deux à deux comparables !!

    En fait j'ai compris : la définition de chaîne doit inclure l'ensemble vide (la chaine vide !).

    Enfin j'ai pu voir ce qui n'allait pas dans mon bouquin !

    Merci.
  • Surtout, l'expression "ensemble inductif" n'est appropriée, c'est un abus de langage abusif dans ce contexte, puisque ça n'a de sens que pour un couple $(E,\leq)$ où $\leq$ est un ordre partiel sur $E$. Je ne vois donc même pas en quoi l'ensemble vide est concerné, sans précision d'un ordre partiel sur l'ensemble vide...

    [La case LaTeX. AD]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Oui mais il n'y a qu'une relation binaire sur l'ensemble vide, qui se trouve être un ordre total non ?
  • oui c'est une super relation, à la fois un ordre total, une relation d'équivalence, ...
  • Certes...

    Une remarque peut-être plus émoustillante pour Edouardo: puisque tu ne veux pas d'ordre, imposons-en un !

    Définition : On dit qu'un ensemble $T$ est inductif, ssi toute partie bien ordonnée de $T$ pour l'inclusion a un majorant dans $T$ pour l'inclusion

    Enoncé : Tout ensemble inductif contient un élément maximal pour l'inclusion.

    Exercice : Prouver que ça entraine le Zorn habituel (et l'axiome du choix)

    [La case LaTeX. AD]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Soit A un ensemble inductif au sens habituel, et P l'ensemble des chaînes de A. Soit Q une partie de P bien ordonnée pour l'inclusion. U Q est une chaîne de A, majorant de Q pour l'inclusion. P est donc un ensemble inductif au sens chalonien, et contient donc un élément M maximal pour l'inclusion d'après l'énoncé chalonien. M est une chaîne de A, maximale pour l'inclusion, et est donc majorée par un élément T de A puisque A est inductif. T est maximal dans A (si on avait K > T, M U {K} serait une chaîne de A qui contredirait la maximalité de M).
  • Bravo (sans latex en plus...)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • le latex ? je l'économise à d'autres f(a)i(n/m)s :)
  • Encore merci, j'ai juste fait une légère pause pour vérifier que U Q était bien une chaîne de A dans l'exercice qui m'était proposé par CC et résolu par GG. C'est vrai que cela donne de la perspective ...

    Que mon DEA de logique à P7 et les explications de Krivine me semblent loin (1993) ! J'avais pourtant commencé son bouquin sur la théorie axiomatique des ensembles que j'ai fini par égarer.. j'avai choisi la thie de la dion à la thie des modéles.

    Ed.
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