Inductif

Bonjour,

Soit A un ensemble et PA l'ensemble des parties de A
Soit Y= { g | g est une fct dont le domaine est contenu dans PA et dont l'image est contenu dans A et tel que g(x) est dans x pour tout x du domaine}
alors je voudrais montrer que A muni de l'inclusion est un inductif mais je ne vois pas comment faire...
merci

Réponses

  • Je ne comprends pas ta question : l'ensemble $Y = \{ g : \mathcal{P}(A) \mapsto A \mid \forall x,\ g(x) \in x\}$ n'a rien à faire avec le fait que $A$ soit inductif.
  • Qu'appelles-tu "inductif"?

    Peut-être cherches-tu le fait suivant:

    Pour chaque ordinal $e$, tu notes $z(e)$ l'image par g du complémentaire $T(e)$ de l'ensemble des $z(u)$ tels que $u<e$, si cet ensemble $T(e)$ est dans le domaine de $g$, sinon tu t'arrêtes (ie tu fais la construction ordinal jusqu'à plus possible). En notant $L$ l'ordinal à partir duquel la construction n'est plus possible:

    par ton hypothèse, chaque $z(e)\in T(e)$ donc est différent de tous les $z(u)$ tels que $u<e$. Et ça donne une injection $z$ de $L$ dans $A$ telle que le complémentaire de l'image de $L$ par $z$ n'est pas dans le domaine de $g$. Autrement dit, "on arrive à monter jusqu'à une certaine limite de $g$ elle-même"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Euh...

    je crois tout simplement que cyclique a en vue une Zornification sur son ensemble Y d'applications partielles (il a fait une coquille en écrivant A au lieu de Y, visiblement). Est-ce si dur de montrer qu'une réunion croissante de graphes d'applications partielles de P(A) dans A vérifiant la condition est bien le graphe d'une application partielle vérifiant cette condition?

    Cordialement.
  • A ce propos, je signale un théorème excitant:

    Soit $E$ un ensemble, et $G$ un ordinal

    Soit $T$ l'ensemble des applications de $E$ dans $G$.

    Soit $L$ une application de $T$ dans $E$

    Alors, il existe un élément $e$ de $E$ et une application $Y$ de $G$ dans $T$ ayant les propriétés suivantes:

    1) pour tout $m\in G: L(Y(m))=e$

    2) pour tout $m,n\in G$ avec $m<n$: pour tout $x\in E$; $Y(m)(x)\leq Y(n)(x)$

    3) pour tout $m\in G$ l'application $Y(m)$ transforme $e$ en $m$

    Je laisse qui est intéressé un peu de temps pour le prouver...
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  • Faut pas s'inquiéter pour CC : il délire un peu, mais il a un bon fond. ;)
  • Faut pas s'inquiéter pour CC : il délire un peu, mais il a un bon fond

    Pourquoi tu dis ça?
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  • Le théorème que j'ai signalé rejoint le truc demandé, de plus il apporte une sorte de "théorème de Brouwer" à la logique:

    On regarde L comme une coloration du pavé $E^G$ en $G$ couleurs, et l'existence de $Y$ assure un chemin $m\to Y(m)$ qui traverse le pavé en restant toujours de la même couleur, la propriété de croissance (2) étant une sorte de continuité.
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  • Bon, comme je dois m'absenter, je donne la preuve résumée:

    $g_m(e):=$ le plus petit $n\in G$ tel que pour tout $p<m$, si $L(g_p)=e$ alors $g_p(e)\neq n$. On construit ainsi par induction ordinale, les $g_m$ jusqu'à plus possible, ie jusqu'à ce qu'il y en ait une qui ne puisse avoir comme domaine $E$ tout entier.

    Soit $m$ l'ordinal tel qu'on ne peut construire $g_m$. Il existe donc $e\in E$ tel que pour tout $n\in G$; il existe $p<m$ avec $L(g_{p_n})=e$ et $g_{p_n}(e)=n$, CQFD

    Vu la définition il est évident que les $g_p$ pour $p<m$ donnent la $Y: n\to g_{p_n}$ dont on voulait prouver l'existence.
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  • EDIT (grosse fatigue) : non effectivement $Y$ est inductif. Et par Zorn on déduit qu'il existe une fonction maximale. Or, une telle fonction choisit un élément de chaque partie de $P(A)$.
  • Je me souviens pas: c'est quoi que les gens appellent "inductif" dans les maths scolaires? Perso, il me semble l'avoir vu utilisé pour définir les entiers, mais j'ai la vague impression que dans certains livres, ils utilisent ce mot pour dire "tout sous-ensemble totalement ordonné a un majorant"? (en vue de Zorn)
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  • CC : c'est bien expliqué sur la page wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_inductif
  • Ok, oui, bah c'est ça: dans la question initiale, g ne sert à rien (prendre g=ensemble (vide)

    OUps je n'avais pas relu.
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  • Je n'ai pas le tps, mais peut-être que cyclique voulait montrer que c'est Y et non pas A qui est inductif, auquel cas, ça semble raisonnable, voir mon premier post, même principe (mais je regarderai ça tout à l'heure, je suis déjà en retard)
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  • C'est même évident, une réunion de fonctions 2 à 2 comparables est une fonction
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  • Bu écrivait:
    > Euh...
    >
    > je crois tout simplement que cyclique a en vue une
    > Zornification sur son ensemble Y d'applications
    > partielles (il a fait une coquille en écrivant A
    > au lieu de Y, visiblement). Est-ce si dur de
    > montrer qu'une réunion croissante de graphes
    > d'applications partielles de P(A) dans A vérifiant
    > la condition est bien le graphe d'une application
    > partielle vérifiant cette condition?
    >
    > Cordialement.


    oui tu as vu juste...c'est bien Y que je voulais mettre, :S
  • @CC : relis l'ensemble de ce fil à tête reposée, et j'espère que tu comprendras pourquoi je me suis moqué de toi (pas trop méchamment, j'espère).

    Cordialement.
  • :)-D effectivement... mais je jure sur l'honneur que je n'avais pas bu (en fait j'était debout à côté du PC, une main sur logout, l'autre sur le fil)

    j'avais lu en diagonale et voyant "A" à la fin, à la place de "Y", mon cortex a réinterprété le post initial en "Soit A tel que il existe g tel que..." (ce qui arrive quand on demande de prouver un truc "A" à la fin, avec A donné dès le départ, les var intermédiaires sont souvent existentielles).

    Bon, bin j'espère que ça s'est conclu...

    Ah je vois que non, personne n'a eu la bonté de donner à Cyclique une preuve, n'est-ce pas ça qu'il demandait? Le pauvre, et en plus je lui ai dit que c'était évident, il a dû pas oser redemander: bon pour me faire pardonner

    Soit T un sous-ensemble totalement ordonné de Y. Alors Cycl.. j'espère que tu sais ce qu'est une fonction, ça avait fait couler de l'encre ici pdt un tps lol. Soit $(u,v)$ un élément se trouvant dans au moins une des fonctions $f$ de T et $(u,w)$ un autre tel élément (qui se trouve dans $g\in T$). Je renomme mes 2 fonctions de telle sorte celle qui s'appelle $g$ soit telle que $f\subseteq g$. Il s'ensuit que $(u,v)$ et $(u,w)$ sont tous les 2 dans $g$ et donc $v=w$

    Si $x\in $ au domaine de l'une des $f\in T$, (rappel $T\subseteq Y$)alors $x\subseteq A$ et $f(x)\in x$, donc la réunion des fonctions se trouvant dans $T$ est bien un élément de $Y$.

    Pardon de t'avoir dit que c'était évident, ça ne me ressemble pas lol (en maths tout doit être prouvé)

    Bon effectivement, ça apparait à bcp de gens comme "trivial", mais c'est subjectif.

    Je présumes que, tu veux prouver l'axiome du choix à l'aide de l'axiome de Zorn:

    vu ce qui précède, $Y$ est "inductif", donc a un élément maximal (c'est ce qu'autorise l'axiome de Zorn) et donc, $Y$ contient un élément maximal. Si $g\in Y$, soit $X\subseteq A$, non vide qui n'est pas dans le domaine de $g$ et $t\in X$. Alors $g\cup \{(X,t)\}$ est dans $Y$ et $g$ n'est pas maximal. Un élément maximal de $Y$ a donc un domaine égal à $P(A)-\{ \emptyset \}$

    Ah et sinon, les trucs (hors-sujet) que j'ai signalé, sont malgré tout dignes d'intérêt et "surprenant" (pour le deuxième)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • ok merci (tu)
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